三角形中有关内心I的四点共圆，证$\angle BAC=120^{\circ}$

isee

最近好多关于内心的题，正好也看到个关于内心且有一定难度的几何题，分享来。

点$I$为非等腰$\triangle ABC$的内心，$AI$，$BI$，$CI$分别与对边相对交点$D$，$E$，$F$。$DE$，$DF$分别交$CI$，$BI$于$P$，$Q$。
求证：若$P$，$Q$，$E$，$F$四点共圆，则$\angle BAC=120^{\circ}$。

乌贼

回复 1# isee
公布答案

abababa

发网友的解答，网友说的方法，我用软件算的，但完全看不懂

2. pA1={1,0,0};pA2={0,1,0};pA3={0,0,1};pI={a,b,c};
3. pB1=Cross[Cross[pA1,pI], Cross[pA2,pA3]];
4. pB2=Cross[Cross[pA2,pI], Cross[pA1,pA3]];
5. pB3=Cross[Cross[pA3,pI], Cross[pA1,pA2]];
6. pC2=Cross[Cross[pB1,pB3], Cross[pA2,pB2]];
7. pC3=Cross[Cross[pB1,pB2], Cross[pA3,pB3]];
8. f[x_,y_,z_] := a^2y z+b^2z x+c^2x y+(x+y+z)(p x+q y+r z)

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最后一步是解方程组：

2. Solve[f[pB2[[1]], pB2[[2]], pB2[[3]]] == 0 &&
3. f[pB3[[1]], pB3[[2]], pB3[[3]]] == 0 &&
4. f[pC2[[1]], pC2[[2]], pC2[[3]]] == 0 &&
5. f[pC3[[1]], pC3[[2]], pC3[[3]]] == 0 && a > 0 && b > 0 && c > 0, {p, q, r, a}]

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解出来$a=\sqrt{b^2+bc+c^2}$，也就是$120^\circ$。

乌贼

回复 3# abababa
就是坐标法。
与 forum.php?mod=viewthread&tid=3664&highlight= 中9楼方法一样

abababa

回复 4# 乌贼

前面几步都知道，就是求那些点、线的坐标或方程系数，但是函数$f(x,y,z)$是什么就不清楚了，猜测应该是那个四点共圆的外接圆后面解方程那几个点都满足此函数，说明在圆上。但是还是不懂$f$是怎么弄出来的，系数、表达式，$p,q,r$到底什么意思。

乌贼

证明：
先上一引理：$ I $为$ \triangle ABC $内心，园$ O_1 $为$ \triangle AIC $外接圆，$ BI $延长线分别交$ AC $于$ E $、交园$ O_1 $于$ K $，$ AI $延长线交$ BC $于$ D $，则$ BA、DE、CK $三线共点。


作$ \triangle AIC $外接圆$ O_1 $，延长$ BE $交园$ O_1 $于$ K $，由引理知$ BA、DE、CK $交于点$ N $，在$ AB $上作$ E $关于$ AD $对称点$ M $，连接$ IM，DM $。有\[ \begin{align*}
\angle DMI&=\angle DEI\\\angle MDA&=\angle EDA
\end{align*} \]
由题意$ F、E、Q、P $四点共圆有\[ \angle DFI=\angle DEI \]所以\[ \angle DFI=\angle DEI=\angle DFI \]即$ M、F、D、I $四点共圆，故\[ \angle MFD=\angle MDA=\angle EDA \]因此$ A、F、D、Q $四点共圆，有\[ \angle DEI=\angle DFQ=\angle DAQ \]得$ A、I、Q、E $四点共圆，有 \[ \begin{align*}
\angle QIE&=\angle QAE\\\angle EQC= \angle IAC=\angle EKC\riff \angle QIE&=\angle ENK
\end{align*} \] 这样有$ A、Q、C、N $四点共圆，因此\[ \angle NAE=\angle NQC=\angle IAE=\angle IAB=60\du  \]
感觉证复杂了（如果没有引理）

乌贼

回复 5# abababa
我也不懂

isee

回复 2# 乌贼

我是看到过答案，不过，我并没细看。

其中第一步是证圆FPI与圆EQI共点于A。

乌贼

回复 8# isee
那6楼证法与这基本一样。

isee

回复 9# 乌贼


    厉害厉害。这本是竞赛题，本复杂。虽然题看着简单。

    反过来，如果角是120度，那亦有四点共圆。

乌贼

回复 10# isee
不用引理就不好证了，哪里的竞赛题

isee

回复 11# 乌贼

真不知，关于角分线的难题实在是太多了。

单墫的解法是这样的。

abababa

回复 7# 乌贼

以前我不喜欢那个坐标法，觉得都是计算，有软件还好算，没软件特别难算（据网友说他全都手算，这也太强大了），但现在我有点喜欢这方法了，化证明为计算，本来就是变难为易，只是还有很多知识点搞不明白，简单的几个现在是明白了。

乌贼

回复 13# abababa
多学知识