单位1折分为单位分数的和 eg $1=\frac 12+\frac 13+\frac 16$

isee

这里的自然数$x,y$:$$1=\frac 12+\frac 16+\frac 1{12}+\frac 1x+\frac 1y+\frac 1{30}+\frac 1{42}+\frac 1{56}+\frac 1{72}+\frac 1{90}+\frac 1{110}+\frac 1{132}+\frac 1{156}$$除了去分母强解不定方程外，还有其它方法不？

kuing

去年4月某教师群群聊记录存档截图：



由于在教师群，我就没证明唯一性了。

isee

回复 1# isee

想到一种方法，当下步会有相同的单位分数时，先拆那个将相同的分数。
$$\frac 1{n(n+1)}=\frac 1n-\frac 1{n+1}\Rightarrow \frac 1n=\frac 1{1+n}+\frac 1{n(n+1)}.$$
\begin{align*}
1&=\frac 12+\frac 12\\
&=\frac 12 +\frac 13 +\frac 16\\
&=\frac 12+\frac 14+\frac 16+\frac 1{12}\\
&=\frac 12+\frac 15+\frac 16+\frac 1{12}+\frac 1{20}\\
&=\frac 12+\frac 15+\frac 17+\frac 1{12}+\frac 1{20}+\frac 1{42}\\
&=\frac 12+\frac 16+\frac 17+\frac 1{12}+\frac 1{20}+\frac 1{30}+\frac 1{42}\\
&=\frac 12+\frac 16+\frac 18+\frac 1{12}+\frac 1{20}+\frac 1{30}+\frac 1{42}+\frac 1{56}\\
&=\frac 12+\frac 16+\frac 19+\frac 1{12}+\frac 1{20}+\frac 1{30}+\frac 1{42}+\frac 1{56}+\frac 1{72}\\
&=\frac 12+\frac 16+\frac 1{10}+\frac 1{12}+\frac 1{20}+\frac 1{30}+\frac 1{42}+\frac 1{56}+\frac 1{72}+\frac 1{90}\\
&=\frac 12+\frac 16+\frac 1{11}+\frac 1{12}+\frac 1{20}+\frac 1{30}+\frac 1{42}+\frac 1{56}+\frac 1{72}+\frac 1{90}+\frac 1{110}\\
&=\frac 12+\frac 16+\frac 1{11}+\frac 1{13}+\frac 1{20}+\frac 1{30}+\frac 1{42}+\frac 1{56}+\frac 1{72}+\frac 1{90}+\frac 1{110}+\frac 1{156}\\
&=\frac 12+\frac 16+\frac 1{12}+\frac 1{13}+\frac 1{20}+\frac 1{30}+\frac 1{42}+\frac 1{56}+\frac 1{72}+\frac 1{90}+\frac 1{110}+\frac 1{132}+\frac 1{156}\\
\end{align*}

isee

回复 2# kuing

嗯，正好和我的思维相反。

其实这样一看，是多么简单的列项求和啊。

abababa

回复 2# kuing


其实这个和主楼的不一样，可能主楼少打了一个$\frac{1}{12}$，这样主楼是无整数解的。

isee

回复 5# abababa


    是我漏掉了，加上了，哈哈

abababa

回复 6# isee

加上这个，也还是有两个解，一个就是前面提到的，另一个是$x=8, y=520$。交换次序当然也是解。

isee

回复 7# abababa

是啊，拆分并不惟一。。。。

kuing

回复  isee

加上这个，也还是有两个解，一个就是前面提到的，另一个是$x=8, y=520$。交换次序当然也是解 ...
abababa 发表于 2017-7-8 15:37

哈哈！$1/8 + 1/520 = 1/20 + 1/13$，nice！竟然有两解，我的直觉错了，或者说我对数论根本没感觉。

看来撸题真的不能懒，无论在哪里都是，当时要是不懒，即便是随手开下软件算算也不至于这样。

那么，对于2楼那题，就又成为一道经典错题了

abababa

回复 9# kuing

错题到是没错吧，因为另一个解代进去，表达式的值比$x=13,y=20$的那个要大。

kuing

回复 10# abababa

哦，那是我们对题意理解不一样，我是把 m,n 看成是参数，那式子的最小值就有两种情形，得分别写出来，就像平常那些求含参数的函数最值题那样子去讨论……