v6空间的一道三元不等式$\sum\frac a{a^2+2}\le1$

kuing

注：条件 $a$, $b$, $c>0$, $abc=1$。

代码存档：
let $a=xy/z^2$ etc, use AG and CS get \[\sum\frac{a}{a^2+2}\le\sum\frac{a}{2a+1}=\sum\frac{xy}{2xy+z^2}=\frac32-\frac12\sum\frac{z^2}{2xy+z^2}\le\frac32-\frac12\cdot\frac{(x+y+z)^2}{\sum(2xy+z^2)}=1.\]

kuing

其实不换元、不用CS也行，只用均值，到只需证 $\sum\frac{a}{2a+1}\le1$ 时，爆力去分母展开化简后就是 $a+b+c\ge3$，显然成立。