样子还不错的对数不等式

v6mm131

证明：$\ln x+x+\frac{1}{x}>\frac{3}{2}$

v6mm131

带换一波先，令$x=e^t$ 则原不等式可化为：
\[t+e^t+e^{-t}>\frac{3}{2}\]
熟知：$e^x+e^{-x}\ge2+x^2$ 则要证的不等式显然成立

v6mm131

也可以这么估计$ \ln x+\frac{1}{x}\ge\frac{5x^2-2x+3}{2x^2+4x}>\frac{9}{5}-\frac{27x}{25}$