$abc=1$ 型不等式一条

v6mm131

已知$a,b,c>0,abc=1$证明：\[\frac{1}{a^2-a+1}+\frac{1}{b^2-b+1}+\frac{1}{c^2-c+1}\le 3\]

kuing

因为
\[\frac1{a^2-a+1}=2-\frac1{a^2+a+1}-\frac{2a^4}{a^4+a^2+1}
=2-\frac1{a^2+a+1}-\frac2{(a^{-2})^2+(a^{-2})+1},\]
注意 $\prod a^{-2}=\prod a=1$，可见只需证明
\[\sum\frac1{a^2+a+1}\geqslant1\]
即可，令 $a=xy/z^2$ 等，则
\[\sum\frac1{a^2+a+1}=\frac{z^4}{x^2y^2+xyz^2+z^4}
\geqslant\frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\sum(x^2y^2+xyz^2+z^4)}
\geqslant\frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\sum(2x^2y^2+z^4)}=1,\]
即得证。

v6mm131

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牛逼啊！