来自某网友的四元不等式$\sum\frac a{1-a^2}\le$

kuing

雪娃娃(6579*****) 13:18:44
$a \cdot b, c, d \geqslant 0, a^2+b^2+c^2+d^2=1$，求证: $\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}+\frac{d}{1-d^2} \geqslant \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

由均值
\[\frac a{1-a^2}=\frac{\sqrt2a^2}{\sqrt{2a^2(1-a^2)(1-a^2)}}\geqslant \frac{\sqrt2a^2}{\sqrt{\bigl( \frac{2a^2+1-a^2+1-a^2}3 \bigr)^3}}=\frac{3\sqrt3}2a^2, \]
求和即得。

注：其实我用的是切线法，只不过写的时候写成纯均值而已，这是擦除思考痕迹的基本手法。

v6mm131

这就是把原来三元的改成了四元

isee

由均值
\[\frac a{1-a^2}=\frac{\sqrt2a^2}{\sqrt{2a^2(1-a^2)(1-a^2)}}\geqslant \frac{\sqrt2a^2}{\sqrt ...
kuing 发表于 2017-7-24 15:24

哎，终于有个不等式的证明，我看懂了。。。。。

色k

回复 2# v6mm131

这题确实是三元以上结果都一样，取等条件都是三个为 $1/\sqrt3$ 其余全为零。