三元不等式一条

v6mm131

已知$a,b,c \ge 0$,满足$a^3+b^3+c^3+abc=8$,证明：\[a^2+b^2+c^2\ge 4\]

kuing

不动脑地 baoli 一下：
\[
(a^2 + b^2 + c^2)^3 - (a^3 + b^3 + c^3 + a b c)^2
=\sum(a^4 + b^2 c^2) (b - c)^2+\sum a^4(b^2+c^2)+5a^2b^2c^2
\geqslant0
\]
在实数范围内成立

kuing

还可以加强为：已知 $a$, $b$, $c\geqslant 0$ 满足 $a^3+b^3+c^3+3\bigl(\sqrt3-1\bigr)abc\geqslant 8$，则 $a^2+b^2+c^2\geqslant 4$。（注：由于 $3\bigl(\sqrt3-1\bigr)\approx 2.196$ 所以强于原题。）

证明可参考《撸题集》第 897 页题目 6.7.10（那里的证明更加 baoli ）。

v6mm131

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