三元条件最值

v6mm131

$x,y,z>0$满足$xyz+xy+yz+zx+x+y+z=3$求$xyz(x+y+z)$的最大值

kuing

《撸题集》第 439 页题目 4.6.17.

v6mm131

回复 2# kuing


    100贴这么水

wanhuihua

设 $x, y, z$ 为非负数且 $\sum x+\sum x y+x y z=3$
求 $x y z \sum x$ 的最大值
记 $\sum x=p, \sum x y=q, x y z=r . t=p r$ ，则 $q^2 \geq 3 p r$ ．
问题转化 $p+r+\sqrt{3 p r} \leq 3, p^3 \geq 27 r$ 时，求 $t=p r$ 的最大值。
令 $f(p)=p+r+\sqrt{3 p r}=p+\frac{t}{p}+\sqrt{3 t}$ ，
由 $p \leq 3$ 得 $p^2 \geq \frac{p^4}{9} \geq 3 t, f^{\prime}(p)=1-\frac{t}{p^2} \geq 0,3 \geq f(p) \geq f\left((27 t)^{\frac{1}{4}}\right)$
解得 $t \leq 9\left(2^{\frac{7}{3}}-5\right)$ ，当 $x=y=z$ 时取等。