来自网友的直角梯形过定点什么的

kuing

教学乡长 0:10:48

（1）略；

（2）如图。

由梅，有
\begin{align*}
\frac{NM}{ME}\cdot \frac{EP}{PA}\cdot \frac{AQ}{QN}&=1, \\
\frac{NM}{MF}\cdot \frac{FP}{PD}\cdot \frac{DQ}{QN}&=1,
\end{align*}
故由条件及 $ME=MF$，以上两式相除即得
\[\frac{AQ}{DQ}=\frac yx,\]
所以 $Q$ 为定点；

（3）设 $PM:PQ=k$，则
\[\frac1{xy}=\frac{\S{PAD}}{\S{PEF}}
=\frac{\S{PAQ}}{2\S{PEM}}+\frac{\S{PDQ}}{2\S{PFM}}
=\frac1{2kx}+\frac1{2ky},\]
所以
\[k=\frac{x+y}2,\]
下略。

其实和梯形关系不大，主要还是玩中间那些三角形……

kuing

哦，其实（2）也可以用面积法，同样记 $PM:PQ=k$，我们有
\[
AQ:DQ=\S{PAQ}:\S{PDQ}=\frac{\S{PEM}}{kx}:\frac{\S{PFM}}{ky}=y:x,
\]
这样简单多了，根本用不着梅。

kuing

第（3）问贴题者自解：

教学乡长 12:44:42

其妙

此题可以编拟一个向量模的题出来