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kuing
Posted 2017-8-18 18:22
所有变量都限制为正数的话是没问题的，不过暂时还没想到一般性的证法，只想到仅用于本题的 baoli 证法。
由条件，原不等式等价于
\[(a^2+b^2+c^2)(a^4+b^4+c^4)-(a^3+b^3+c^3)^2\geqslant (d^2+e^2)(d^4+e^4)-(d^3+e^3)^2=d^2e^2(d-e)^2,\]
将已知等式的第一条平方与第二条相减可得
\[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=d^2e^2,\]
于是
\[a^2+b^2+c^2-2\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}=(d-e)^2,\]
故此，原不等式等价于
\begin{align*}
&(a^2+b^2+c^2)(a^4+b^4+c^4)-(a^3+b^3+c^3)^2 \\
\geqslant{}&(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\bigl( a^2+b^2+c^2-2\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} \bigr),
\end{align*}
经过展开计算可知上式等价于
\[2\sqrt{(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^3}\geqslant 3a^2b^2c^2+2a^3b^3+2b^3c^3+2c^3a^3,\]
两边平方后，经过简单的配方可知其等价于
\[a^2b^2c^2\left( 15a^2b^2c^2+6\sum(a^2b^2+c^4)(a-b)^2+4abc(a^3+b^3+c^3) \right)\geqslant 0,\]
显然成立，即得证。
注：这也说明原不等式是取不等的，除非将“正数”改为“非负数”，那么取等条件就是 $abc=0$。 |
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力工
Posted 2017-8-18 21:17
色k
Posted 2017-8-21 11:55
）
……
