旧题求新（见）解

力工

这题高手们怎么看？是西施还是东施？来自何方？

kuing

常规的二次最值问题而已，只不过命题者随手加的多余条件 $xy\geqslant0$ 使得我要分类讨论。

设 $\langle\bm a,\bm b\rangle=\theta$，则
\[\abs{x\bm a+y\bm b}=1 \iff x^2+2\cos\theta xy+y^2=1 \iff (x+y\cos\theta)^2+(y\sin\theta)^2=1.\]

（1）若 $2\cos\theta>1$，则
\[(x+2y)^2=x^2+4xy+4y^2\leqslant 4x^2+8\cos\theta xy+4y^2=4,\]
当 $x=0$, $y=1$ 时取等；

（2）若 $2\cos\theta\leqslant1$，则由柯西得
\[(x+2y)^2\leqslant \bigl( (x+y\cos\theta)^2+(y\sin\theta)^2 \bigr)\left(1^2+\left( \frac{2-\cos\theta}{\sin\theta} \right)^2 \right)=\frac{5-4\cos\theta}{1-\cos^2\theta},\]
取等条件为
\[x+y\cos\theta=\frac{y\sin^2\theta}{2-\cos\theta} \iff x=\frac{1-2\cos\theta}{2-\cos\theta}y,\]
由 $2\cos\theta\leqslant1$ 可知一定存在 $x$, $y$ 使上式成立，即等号一定能取到。

综合（1）（2），即
\[
\abs{x+2y}_{\max}=
\led
&2, && 2\cos\theta>1, \\
&\sqrt{\frac{5-4\cos\theta}{1-\cos^2\theta}}, && 2\cos\theta\leqslant1,
\endled
\]
下略。

力工

回复 2# kuing
也就是说这个就是二次问题的变形？那二次问题应该都可以这样变了。

其妙

是不是还可以求最小值？或者说下确界

kuing

回复 4# 其妙

你是说 |x+2y| 吗？那显然是 1 啊，$(x+2y)^2=x^2+4xy+4y^2\geqslant x^2+2\cos\theta xy+y^2=1$，当 $x=1$, $y=0$ 取等。

力工

回复 5# kuing
k神，我觉得还有条件多余，就是那个夹角为锐角。

色k

回复 6# 力工

Yes

力工

回复 7# 色k
感脚原题还有问题，从几何构图上看只能是两个取值$\dfrac{1}{4},\dfrac{11}{16}$，而不是一个变化范围。

色k

回复 8# 力工

No

其妙

回复  其妙

你是说 |x+2y| 吗？那显然是 1 啊，$(x+2y)^2=x^2+4xy+4y^2\geqslant x^2+2\cos\theta xy+y^2 ...$
kuing 发表于 2017-8-19 23:46

是$\vv{a}\cdot \vv{b}$的最大值和最小值！

kuing

是$\vv{a}\cdot \vv{b}$的最大值和最小值！
其妙 发表于 2017-8-22 20:12

原题就是求 $\bm a\cdot\bm b$ 的最小值，然后你在4楼问的也还是最小值，所以我自然不会认为你还在指 $\bm a\cdot\bm b$ 啊。

kuing

至于 $\bm a\cdot\bm b$ 的范围，如果完全按原题的话，那么 $xy\geqslant0$ 就不是多余的了，此时 $\theta\to0$ 也是符合的，所以 $\bm a\cdot\bm b$ 的上确界为 $1$。

而如果去掉 $xy\geqslant0$，则2楼就不需要分类讨论，没有情况（1），即恒有 $\abs{x+2y}_{\max}=\sqrt{\frac{5-4\cos\theta}{1-\cos^2\theta}}$，所以令此式 $\leqslant\frac8{\sqrt{15}}$ 解出的范围就是 $\cos\theta$ 的范围。

力工

回复 12# kuing

ku神说得对，直接解出就可以了。