$a_{n+1}=a_n^2-2na_n+1$证$\sum\frac1{a_k-2}<2/3$

v6mm131

数列{$a_n$}满足$a_1=4,a_{n+1}=a_n^2-2na_n+1$,求证：$\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{a_k-2}<\dfrac{2}{3}$

kuing

$a_2=9$, $a_3=46$，用数归易证当 $n\ge3$ 时 $a_n\ge2\cdot22^{n-2}+2$，于是
\[\sum_{k=1}^n\frac1{a_k-2}<\frac12+\frac17+\sum_{k=3}^{\infty}\frac1{2\cdot22^{k-2}}=\frac23.\]

isee

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22的幂，这都能。。。。。。。

v6mm131

666

色k

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22的幂，这都能。。。。。。。
isee 发表于 2017-8-25 19:30

这 $22$ 不是随便取的，而是通过计算算出来的，看你在另一帖里还在问怎么得到这种放缩，看来还是有必要普及一下等比放缩的基本方法（我估计市面上应该有不少相关文章，不过懒得找了，反正闲着无聊）。

一般来说，设待证不等式为 $\sum_{k=1}^n f(k)<C$，我们尝试从第 $m$ 项起放缩成等比，即假设 $f(k)\leqslant p\cdot q^{k-m}$（$k\geqslant m$），为了最大限度地找到合适的值，一般让开头取等且求和后正好得证，即 $f(m)=p$ 且 $f(1)+\cdots+f(m-1)+p(1+q+q^2+\cdots+q^{\infty})=C$，解得
\[q=1-\frac{f(m)}{C-f(1)-\cdots-f(m-1)},\]
然后取 $m=1$, $2$, \ldots 试验之（即考查 $f(k)\leqslant f(m)\cdot q^{k-m}$ 是否确实对 $k>m$ 恒成立）。

上面我的解法中，当试到 $m=3$ 就发现成立了，此时
\[q=1-\frac{\frac1{46-2}}{\frac23-\frac1{4-2}-\frac1{9-2}}=\frac1{22},\]
这个 $22$ 就是这样来的。

不等式越强，需要取的 $m$ 往往越大，甚至可能不存在这样的 $m$，总之，这属于试探性方法，不是包搞定的。

色k

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注：这样的计算方式的虽然最安全，但数据有时可能会很难看，这时可以考虑适当放松一点，放弃首项或求和后的取等来找到相近的更简洁的值，这样说不准能既简化过程，还能得到更强式，总之一句话：自已执生。

isee

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    总之缩放成等比数列

游客

如果要第5项开始才能放缩，这样谁还想着去算？早放弃了。
如果是考试，应该杜绝这种方法的题目，思维量不怎样，但能整死人。