三角形中$a+b\geqslant 2c$，证$C\leqslant \pi/3$

isee

$\triangle ABC$中，$a+b\geqslant 2c$，求证：$\angle C\leqslant \frac {\mathrm\pi}3.$

色k

这是基础题呀

isee

回复 2# 色k


    有难有易，易突出难，难突出易。

    也不易，北约自招题。

kuing

回复 3# isee

这个不易？

isee

回复 4# kuing


    你功力深，，，，我揣测下，，，你是这样的——

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\geqslant 4c^2-2ab(1+\cos C),ab\leqslant \left(\frac {a+b}2\right)^2,\cdots$$


再不然就是这样——

$$\sin A+\sin B\geqslant 2\sin C\Rightarrow 2\sin \frac{A+B}2\cos \frac {A-B}2\geqslant 4\sin \frac{A+B}2\cos \frac {A+B}2\Rightarrow \cos \frac {A-B}2\geqslant 2\cos \frac {A+B}2,\cdots$$

kuing

随便，反正这题怎么看都是基础题

其妙

回复  kuing


    你功力深，，，，我揣测下，，，你是这样的——

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\geqslant 4c ...
isee 发表于 2017-8-21 15:29

不等式的系数搞错了吧，基础题

isee

回复 7# 其妙

我就是估了下，也没检查，你写来瞧瞧。。。

其妙

好吧，我来解决它（虽然就是一个基本不等式的问题，当然，消元是不动脑筋的一个选择哟），
许久没用代码了，打起字来挺麻烦的，幸好还有贴心的草稿本。。。

$\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\geqslant\dfrac{a^2+b^2-(\dfrac{a+b}{2})^2}{2ab}=\dfrac{\dfrac34(a^2+b^2)-\dfrac12ab}{2ab}\geqslant\dfrac{\dfrac32ab-\dfrac12ab}{2ab}=\dfrac12$，

于是，$C\leqslant\dfrac{\pi}3$

kuing

回复 1# isee

\pi 前加 \mathrm 是没用的，无论是在这里还是在 latex 里。
要让 \pi 直立只能是使用具有直立体 \pi 的字体，具体就不在这里说了。

isee

回复 10# kuing


    原来如此，texlive里只简单用的 upgreek 宏包

其妙

文首题目还可以改为：$a,b,c$成等差数列或称等比数列，其余不变

色k

回复 12# 其妙

看来你是写文章写多了，开口就“文首”，这里是论坛，是不是应该换个词，比如说“帖首”？