$abc=1$

v6mm131

若$a,b,c>0,abc=1$,证明：\[a^3+b^3+c^3+22\ge \frac{25}{3}(a+b+c)\]

kuing

用软件算出 $a^3+b^3+c^3+k\ge \dfrac{3+k}{3}(a+b+c)$ 成立的最大 $k$ 值为方程
16740027-15379713*k+17483364*k^2-600237*k^3+1622808*k^4-79632*k^5+256*k^6=0
的一个根，其近似值为 22.032，命题者取了 22，与最佳系数只差那么一点点，要用一般的手工证法估计很难证，俺还是先闪了……

v6mm131

回复 2# kuing
据说是某大师加紧的
这么看来取$k=3or9$之类的应该有优美解？

kuing

回复 3# v6mm131

可以取 k=17.25 ，有很简单的优美解

v6mm131

这个最佳的k值是不是用调整法得到的？
令 $f(a,b,c)=a^3+b^3+c^3+k-\dfrac{3+k}{3}(a+b+c)$, $a=\min\{a,b,c\}$
则$a\le 1$,$f(a,b,c)-f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc})=(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2(b^2+c^2+3bc+2(b+c)\sqrt{bc}-\dfrac{k+3}{3})$$\ge (\sqrt{b}-\sqrt{c})^2(\dfrac{9}{a}-\dfrac{k+3}{3})\ge 0$
则可得到：$k\le 24$
故只需要$f(\dfrac{1}{b^2},b,b)\ge0$即可
经过一番化简得到：\[k\le\dfrac{6b^9-6b^7-3b^4+3}{2b^7-3b^6+b^4}\]
打开软件，机器告诉我们最佳k的近似值为22.032

其妙

再上三道题（条件$abc=1$）：
1．Let $a, b, c$ be positive real numbers such that，$a b c=1$
Prove that\[
\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{a+c+1} \leq 1
\]
2．$a, b, c>0, a+b+c \geq 3$ ，prove ：$\sum \frac{1}{a^2+b+c} \leq 1$
3．已知 $a, b,  c \inR_{+}$，且 $a b c=1$ ．证明：$\frac{1}{a^2+b+1}+\frac{1}{b^2+c+1}+\frac{1}{c^2+a+1} \leqslant 1$ ．

v6mm131

回复 6# 其妙
kk的有简单解 我撸不动

其妙

回复 7# v6mm131
这里有《三个正数乘积为1的一种代换方法及其应用》（点击即可出现文章）
里面有一种代换法，或许有用。k神不撸这些没劲的题？