一个求范围的题目

lemondian

大家看看这个题，都有那些解法？
正数b,c满足$b^2+bc+c^2=12$，求b+2c的取值范围

kuing

解法肯定非常多，以前经常看到有人拿这种题大写特写，所以这题我建议你到各种群里问，毕竟群里人多，估计很快就能收到很多相关文章。

lemondian

回复 2# kuing

我会一两种方法，想看看这里的高手们有没有更好的方法

isee

回复 4# lemondian


    不妨写出来，让我们先学习下。另外，由于这个二次曲线其实就是椭圆，给个相关链接:forum.php?mod=viewthread&tid=2737

isee

学kuing配个方，其中$\lambda>0$且为常数。
\begin{align*}
-2\lambda(x+2y)&=x^2+xy+y^2-12-2\lambda(x+2y)\\
&=x^2+xy-2\lambda x+y^2-4\lambda y-12\\
&=\left(x+\frac y2-\lambda\right)^2+\frac 34\left(y-2\lambda\right)^2-4\lambda^2-12
\end{align*}
即$$x+2y=-\frac 1{2\lambda}\left(x+\frac y2-\lambda\right)^2-\frac 3{8\lambda}\left(y-2\lambda\right)^2+\frac{2\lambda^2+6}{\lambda}\leqslant \frac{2\lambda^2+6}{\lambda}.$$取"="时，$$\left\{\begin{aligned}
x+\frac y2-\lambda=0,\\
y-2\lambda=0,\\
x^2+xy+y^2-12=0,
\end{aligned}\right.$$
故当$x=0,y=2\sqrt 3,\lambda=\sqrt 3$时，$$x+2y\leqslant4\sqrt 3.$$
但是$x>0$，所以$$x+2y<4\sqrt 3.$$

问题来了，如果不知道二次曲线是椭圆，如何确定其下界($x+2y>2\sqrt 3$)呢？

lemondian

回复 5# isee

那我 来一个：
由$b^2+bc+c^2=12$,得$(2b+c)^2+3c^2=48$,设$2b+c=4\sqrt{3}cos\theta $,$c=4sin\theta$.
则有$b=2\sqrt{3}cos\theta-2sin\theta=4cos(\theta +\frac{\pi}{6})>0$,可得$\theta\in(0,\frac{\pi}{3}) $.
所以$b+2c=4\sqrt{3}sin(\theta +\frac{\pi}{6})\in(2\sqrt{3},4\sqrt{3})$.


（PS：第一次用代码打数学式，好累呀）

游客

BP=c+b/2  的最大极限位置是BC，最小极限位置是实圆在B处的切线。

isee

回复 7# lemondian


    很有进步了。。。。。用草稿本。。。容易多了。函数前要加\，如\sin....

lemondian

回复 8# 游客

咋没写一个过程呢？

isee

游客 发表于 2017-8-30 17:19

这个无字证明，厉害极了。。文字下。。。便于保存 by 游客

构造$\triangle ABC,BC=2\sqrt 3,\angle A=120^\circ$.
过点$C$作$CP \perp BA$于点$P$，当点$P$在以$BC$为直径的圆上运动时，则$b+2c=2(b/2+c)=BP\leqslant BC$（极限位置）.

下界怎么办？当点$BP$为圆ABC的切线时，点$M$在以$BC$为直径的圆上，达到下界（极限位置）。
详见13楼。

isee

所说均为上界，由柯西不等有（取=号时，x=0）。

$$48=(1+3)((x+y/2)^2+3y^2/4)>(x+y/2+3y/2)^2=(x+2y)^2.$$

游客

回复 11# isee
当∠BPC为锐角时，BP最大极限位置是虚圆直径，
最小极限位置要看BC与BM的大小。

isee

回复 13# 游客


    楼主用的是三角形的边，这个解法真是天作之合。