一个二元最值问题

v6mm131

已知$\dfrac{1}{4}< m < \dfrac{1}{3},\dfrac{1}{4}< n < \dfrac{1}{3}$,且$\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=7$,
求$\sqrt{m^2+m}+\sqrt{n^2+n}$的最小值

色k

$\sqrt{1/x^2+1/x}$ 下凸。

v6mm131

回复 2# 色k

原题是这样的
当$x>1$时，求$f(x)=\dfrac{\sqrt{5x^2-x}}{4x-1}+\dfrac{\sqrt{4x^2+x}}{3x+1}$的最小值

色k

回复 3# v6mm131

那你是怎么变过去的？

v6mm131

回复 4# 色k
\[\dfrac{\sqrt{5x^2-x}}{4x-1}=\sqrt{\dfrac{x}{4x-1}+\dfrac{x^2}{(4x-1)^2}}\]

色k

回复 5# v6mm131

不用编辑了，俺已经知道鸟，所以就OK咯

v6mm131

回复 6# 色k
这都被你看出来了 好像有点卡啊

色k

由于转化出来的是下凸，意味着各种方法都可以随便撸，比如说切线法啊，配方+三角形不等式+均值啊等等

v6mm131

回复 8# 色k

配方三角形+均值的怎么配的？

色k

回复 9# v6mm131
\(\require{cancel}\)
$\sqrt{m^2+m}+\sqrt{n^2+n}=\xcancel{\sqrt{(m+1/2)^2+...}+\sqrt{...}
\ge\sqrt{(m+n+1)^2+...}\ge...}$

色k

回复 10# 色k

还是不要这样搞，毕竟后面是负的。
那就不配方了，直接三角形搞过去吧
$\sqrt{m^2+m}+\sqrt{n^2+n}\ge\sqrt{(m+n)^2+(\sqrt m+\sqrt n)^2}\ge\sqrt{4mn+4\sqrt{mn}}$，注意 $7=1/m+1/n\ge2/\sqrt{mn}$ 得 $\sqrt{mn}\ge2/7$

v6mm131

回复 11# 色k
当时就是发现那里是负的 就挂了 还是10楼的写法好点

色k

回复 12# v6mm131

稍微不认真就失误了不过没所谓，反正可行的方法多的是

v6mm131

回复 8# 色k
做一次小蜜蜂 整理一发

色k

回复 14# v6mm131

848，这都值得整理……
咦？你不是会撸代码吗？怎么不用 tex 写

色k

如果给学生看的话，纯二元均值就有必要写啦
$\sqrt{m^2+m}+\sqrt{n^2+n}\ge2\sqrt[4]{(m^2+m)(n^2+n)}
=2\sqrt[4]{m^2n^2+mn(m+n)+mn}
\ge2\sqrt[4]{m^2n^2+2mn\sqrt{mn}+mn}
=2\sqrt{mn+\sqrt{mn}}$
反而切线法那个可以扔掉，毕竟琴生可行则切线必可行这是地球人都知道的，只有在琴生不可行的时候才有必要尝试切线

v6mm131

回复 15# 色k

打草稿 还是mathtype有优点啊  tex 还是用的不顺手

色k

回复 17# v6mm131

需要用 tex 撸东西时记得找我嗯

敬畏数学

很好！