三次方程的根的轮换多项式求值问题

zhcosin

kuing

结果应该不对，既然是轮换式，应该会有两个可能值，如果只有一值，则意味着方程有重根，但这里显然没有。

zhcosin

我用软件算了下，貌似两组值都是3.

kuing

回复 3# zhcosin

hejoseph

他上面计算错了，计算结果应该是 $M=6$，$N=59$，可以用如下公式：
\begin{align*}
M&=(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma)-3\alpha\beta\gamma，\\
N&=\alpha\beta\gamma\left((\alpha+\beta+\gamma)^3-6(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma)+9\alpha\beta\gamma\right)+(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma)^3。
\end{align*}

kuing

他上面计算错了，计算结果应该是 $M=6$，$N=59$，可以用如下公式：
\begin{align*}
M&=(\alpha+\beta+\gamm ...
hejoseph 发表于 2017-9-5 15:56

nonono，是
\begin{align*}
M+N&=(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma)-3\alpha\beta\gamma,\\
MN&=\alpha\beta\gamma\left((\alpha+\beta+\gamma)^3-6(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma)+9\alpha\beta\gamma\right)+(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma)^3,
\end{align*}
代入韦达即
\begin{align*}
M+N&=6,\\
MN&=59,
\end{align*}
解得 $M=3\pm5i\sqrt2$, $N=3\mp5i\sqrt2$，再除以 $-4$ 即得答案，亦即4楼的结果。