《数学通讯(学生刊)》2017年第8期314问题

zhcosin

问题：（《数学通讯（学生刊）》2017年第8期问题）已知 $\triangle A B C$ 的外接圆半径为 $R$ ，内切圆半径为 $r$ ，求证
\[
\left|1-2 \sin \frac{A}{2}\right| \leqslant \sqrt{1-\frac{2 r}{R}}
\]
并指出等号成立的条件．
解答：（zhcosin）利用
\[
\frac{r}{R}=4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}=\cos A+\cos B+\cos C-1
\]
原不等式转化为要证明
\[
\left(1-2 \sin \frac{A}{2}\right)^2 \leqslant 3-2(\cos A+\cos B+\cos C)
\]
整理即是要证
\[
2 \sin \frac{A}{2} \geqslant \cos \mathrm{~B}+\cos \mathrm{C}=2 \cos \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2}
\]
这是显然的．

isee

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    这解法风格一看就是楼主。。。。。。

力工

坐等不等式k大神的高招。