$\frac 1n+\frac 1{n+1}+\frac 1{n+2}+\cdots+\frac 1{nk-1}>\frac32.$

isee

回复 20# kuing


   没。

kuing

回复 21# isee

呃，图这么快没了，刚想引用下……
凭印象，他那里大概是说到：究其原因，在于 -1/k 的存在使什么什么小于零，过渡失败。
这反思显然不够本质，如果是我就会这样写：
究其原因，在于后面那堆东西为负，而那堆东西其实就是P(k+1)-P(k)（记原式为P(n)），也就是说根本原因就是原式不是递增的，故此可以考虑把P(n)改造下使之递增且开头也成立，而如果改造成功，则既然都递增了，就不必再用数归了。
然后再写改造过程。
我们设将命题改为 P(n)-Q(n)>3/2，需要 P(n+1)-Q(n+1)>P(n)-Q(n)，
即 Q(n)-Q(n+1)>P(n)-P(n+1)=1/n-1/(8n)-1/(8n+1)-...-1/(8n+7)
要使上式恒成立，可对后面放缩一下，只需 Q(n)-Q(n+1)>1/n-8/(8n+7) ，显然取 Q(n)=1/n 即可，也就是去掉 1/n。
最后再验证开头的是否成立。