除了一个根之外，其余根的绝对值都小于1

isee

证明：$$nx^n=1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}$$的根除了一个根之外，其余根的绝对值都小于1.

kuing

显然 $x=1$ 是根，$x=-1$ 不是根；
若 $x>1$ 则 $x^n>1$, $x^n>x$, \ldots, $x^n>x^{n-1}$，等式显然不成立；
若 $x<-1$，当 $n$ 为偶数时同上，当 $n$ 为奇数时上述全部不等号反向，等式亦不成立。
即得证。

isee

回复 2# kuing

果然还是不等式……又秒一个...