证$1+5^n+5^{2n}+5^{3n}+5^{4n}$是一个合数

isee

证明：对任意正整数$n$，$1+5^n+5^{2n}+5^{3n}+5^{4n}$是一个合数。

abababa

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$5^n \mod 11=\{5,3,4,9,1\}$
$5^{2n} \mod 11=\{3,4,9,1,5\}$
$5^{3n} \mod 11=\{4,9,1,5,3\}$
$5^{4n} \mod 11=\{9,1,5,3,4\}$

$(5+3+4+9)+1=22\equiv0\pmod{11}$，所以此数是11的倍数

isee

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    这个专业，数论解，估计没几个能真正的明白。

kuing

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不完全正确，n=5 时并没有约数 11

isee

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不完全正确，n=5 时并没有约数 11
kuing 发表于 2017-9-15 20:54

我相信你，哈哈，abababa 检查检查。。。。。。

abababa

回复 3# isee


其实就是当$5^n\mod11=5$时，必有$5^{2n}\mod11=3,5^{3n}\mod11=4,5^{4n}\mod11=9$，其它几个类似，就是把余数出现的次序作一个循环，无论怎么循环，竖向的加起来都必然是$5+3+4+9=21$，不过上面那个写错了，应该是
\begin{cases}
5^n \mod 11=\{5,3,4,9,1\}\\
5^{2n} \mod 11=\{3,9,5,4,1\}\\
5^{3n} \mod 11=\{4,5,9,3,1\}\\
5^{4n} \mod 11=\{9,4,3,5,1\}
\end{cases}
因此再加1就是$22$。这是当$n$不是5的倍数时的结果，当$5\mid n$时还没得到结果。

abababa

我那个往下做还是没证明出来。发网友的解答，这个应该是对的：
令$x=5^n$，$S(x)=x^0+\cdots+x^4$。当$n=2m$时有$S(x)=\frac{x^5-1}{x-1}=\frac{5^{10m}-1}{5^{2m}-1}=\frac{(5^{5m}-1)(5^{5m}+1)}{5^{2m}-1}$是整数，但分母比分子的任意因子都小，因此分母整除分子的某个因子，于是分子的另一因子使$S(x)$成为合数。当$n=2m+1$时,$S(x)=(1+3x+x^2)^2-5x(1+x)^2=(1+3x+x^2)^2-5^{2m+2}(1+x)^2$，都是平方项，可因式分解，而$1<1+3x+x^2-x(1+x)<1+3x+x^2-5^{m+1}(1+x)<1+3x+x^2$，于是是合数。

isee

回复 7# abababa

又是m大的？跟标答思想一致。

这些题都是摘自 600个世界著名数学征解问题

abababa

回复 8# isee

是的，多数我自己做不出的都问他。不过他很少打latex代码，发过来都是一团一团的，小括号一堆一堆

isee

回复 9# abababa


    已经不容易了，这些细节说明已经很心细了。
   

   就像红楼梦一样，最早还在石头上些，内容大于形式。另外，你已经转编辑了嘛。。。