三角形两中线垂直，证$\cot B+\cot C \geqslant 2/3$

isee

设锐角$\triangle ABC$的$b,c$边上的中线互相垂直，证明：$\cot B+\cot C \geqslant 2/3.$

kuing

设重心 $G$ 到 $BC$ 的距离为 $d$，则
\[\cot B+\cot C=\frac a{h_a}=\frac a{3d},\]
因 $BG\perp CG$，故 $a\geqslant 2d$，即得证。

其妙

由题意，可得$b^2+c^2=5a^2$，故$\sin A \leqslant\dfrac35$，

故$\cot B+\cot C=\dfrac{\sin^2 A}{\sin A\sin B\sin C}=\dfrac{a^2}{bc\sin A}\geqslant\dfrac{5a^2}{3bc}\geqslant\dfrac{10a^2}{3(b^2+c^2)}=\dfrac23$

isee在哪里找的这个题目？

isee

回复 3# 其妙


    摘自 600个世界著名数学征解问题

kuing

回复 4# isee

你最近发的都是？

isee

回复 5# kuing

15（含15）号之后发的，除了那个和式大于3/2。

kuing

回复 6# isee

哦
不知道书上的选题标准是怎样的呢？感觉有的有难度又有意思，一看就知道有料，而有的却简单又无趣，像那个“根绝对值小于1”的……

isee

回复 7# kuing


    你在2楼的解答已经是简单得不能再简了，与书上提供的标答一致。事实上你（们）的解答基本上一书上提供的解法一致或者是其中的一解，如果书中有简解，肯定会分享啦。。。。

isee

由题意，可得$b^2+c^2=5a^2$，故$\sin A \leqslant\dfrac35$，

故$\cot B+\cot C=\dfrac{\sin^2 A}{\sin A ...
其妙 发表于 2017-9-18 00:02

这解答，平移中线构造直角三角形，然后再由勾股定理，化切为弦，利用均值不等来解，标准高中解答。
如果按这思想，完全可给选作必修5的第一章的练习了。

学习了。

kuing

回复  kuing


    你在2楼的解答已经是简单得不能再简了，与书上提供的标答一致。事实上你（们）的解答基 ...
isee 发表于 2017-9-19 19:20

你是不是答非所问了……我说的是选题标准，不是说标准答案……

isee

回复 10# kuing


    冯贝叶主要是从 美国数学月刊 和 数学杂志 选的，至于什么标准，最好去翻下其前言喽。

kuing

噢对了差点忘了说，这题的“锐角”条件是多余的。