求解$(x+1)^x+(x+2)^x=(x+3)^x$

isee

求出方程$(x+1)^x+(x+2)^x=(x+3)^x$的所有实数解.

hejoseph

由 $3^2+4^2=5^2$ 容易得 $x=2$ 是方程的解。只要证明
\[
f(x)=\left(\frac{x+1}{x+3}\right)^x+\left(\frac{x+2}{x+3}\right)^x
\]
这个函数的单调性，此时需要 $x>-1$。
\[
f'(x)=\left(\frac{x+1}{x+3}\right)^x\left(\frac{2x}{(x+1)(x+3)}+\ln\frac{x+1}{x+3}\right)+\left(\frac{x+2}{x+3}\right)^x\left(\frac{x}{(x+2)(x+3)}+\ln\frac{x+2}{x+3}\right)，
\]
令
\[
f_1(x)=\frac{2x}{(x+1)(x+3)}+\ln\frac{x+1}{x+3}，f_2(x)=\frac{x}{(x+2)(x+3)}+\ln\frac{x+2}{x+3}，
\]
则
\[
f_1'(x)=\frac{4(2x+3)}{(x+1)^2(x+3)^2}>0，f_2'(x)=\frac{5x+12}{(x+2)^2(x+3)^2}>0，
\]
即 $f_1(x)$、$f_2(x)$ 都是严格单调增函数。由 $\ln(1+x)<x$ 得
\begin{align*}
&f_1(x)<\frac{2x}{(x+1)(x+3)}-\frac{2}{x+3}=-\frac{2}{(x+1)(x+3)}<0，\\
&f_1(x)<\frac{x}{(x+2)(x+3)}-\frac{1}{x+3}=-\frac{2}{(x+2)(x+3)}<0，
\end{align*}
所以 $f'(x)<0$，即 $f(x)$ 是严格单调减函数，因此只有 $x=2$ 一个解。

kuing

令
\[f(x)=\left( \frac{x+a}{x+b} \right)^x,\]
其中 $0<a<b$, $x>-a$，求导易得
\[f'(x)=\left( \frac{x+a}{x+b} \right)^x\left( \frac{(b-a)x}{(x+a)(x+b)}+\ln \frac{x+a}{x+b} \right),\]
令
\[g(x)=\frac{(b-a)x}{(x+a)(x+b)}+\ln \frac{x+a}{x+b},\]
则
\[g'(x)=\frac{(b-a)\bigl(2ab+(a+b)x\bigr)}{(x+a)^2(x+b)^2}
>\frac{(b-a)\bigl(2ab-(a+b)a\bigr)}{(x+a)^2(x+b)^2}
=\frac{(b-a)^2a}{(x+a)^2(x+b)^2}>0,\]
从而
\[g(x)<g(+\infty )=0 \riff f'(x)<0,\]
下略。

hejoseph

另外有一个有名的问题：$3^x+4^y=5^z$ 只有 $x=y=z=2$ 这一组正整数解，这个就难很多了。

isee

被二位秒了，两边同除$(x+3)^x$，转化为单调性问题，学习了。
3楼更是用字母代替数，更具一般化。

敬畏数学

nice!

游客

kuing

回复 7# 游客

没问题，u''(x)>0 于是 u'(x)<u'(+oo)=0，u(x) 递减，f(x) 递减。