递推式$a_{n+1}=\abs{a_n}-a_{n-1}$，证其周期为$9$

isee

设$\{a_n\}$是实数数列，满足递推关系：$a_{n+1}=\abs{a_n}-a_{n-1}$，证明：$\{a_n\}$是周期为$9$的周期数列。

力工

与这个题类似？
已知${a_n}$满足$a1=1，|a_{n+1}|=|a_n+1|$，则$|a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{2016}|$最小为1004.

游客

1,-2,1,-2,…,1,-2,1,2,-3,-2,-1,0,1,2,这个数列怎样？
前面每相邻2项和均为-1，最后8项和为0。

力工

回复 3# 游客
是啊，有问题，让我偷偷改下。

其妙

设$ \{a_n\}$是实数数列，满足递推关系：$a_{n+1} =a_n−a_{n−1} $，证明:$\{a_n\}$是周期数列。

zhcosin

回复 5# 其妙

利用特征根方法求出数列通项，通项中含有 -1  的两个三次方虚根的幂的线性组合，这两个虚数的的三次方为 -1，自然六次方就为1，从而周期为6.

具体来说就是，特征方程$x^2=x-1$，其根是方程$x^3+1=0$除$-1$以外的其它两根:
\[ \alpha=\cos{\frac{\pi}{3}}+i\sin{\frac{\pi}{3}}, \  \beta=\cos{\frac{\pi}{3}}-i\sin{\frac{\pi}{3}} \]
于是数列的通项具有形式
\[ a_n = u \alpha^n + v \beta^n \]
其中的$u$和$v$由数列的前两项所唯一确定（可能会是虚数），而因为$\alpha^3=-1$与$\beta^3=-1$知
\[ \alpha^6=1, \beta^6=1 \]
所以有 $a_{n+6}=a_n$.

其妙

回复 6# zhcosin
是的，知道周期了，证明就更加容易了！
也可以先证明$a_{n+3}=-a_n$，故$a_{n+6}=a_n$

其妙

回复 2# 力工
再来一道类似：

色k

回复 6# zhcosin

“六次方为1，从而周期为7”？？

其妙

回复  zhcosin

“六次方为1，从而周期为7”？？
色k 发表于 2017-9-30 22:23

我知道他看到会修改的，所以避开这个问题，但是一天后他还没修改彻底，于是只有再次回复了！他修改后就把本楼删去

kuing

说了那么多，怎么没人撸楼主的题？

kuing

让我来回归主题吧……

楼主的题还是挺难嘀，想来想去都免不了分类讨论，证得比较繁，不过毕竟算是证了出来。

注：由于要令绝对值自动增加长度以便观看，而 MathJax 不认识 \delimitershortfall 命令，只好在真 LaTeX 里写过程再贴图。

其妙

回复 12# kuing

isee该把那本书的答案公布了吧？

力工

回复 12# kuing
我只说：“666！”

kuing

继续等标答……

其妙

再催一次

zhcosin

回复 9# 色k
脑袋被驴踢了

isee

回复 15# kuing


    标答应该比你的复杂，在我心中，你的解法就是标准答案。

isee

回复 15# kuing

有点意外，这个书的上解答，竟然有点短。

kuing

回复 19# isee
这个证法高呀