求证：$\angle A=60^\circ$的充要条件是$PI=2QI$

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已知在$\triangle ABC$中，$\angle B,\angle C$的角平分线$BE$，$CD$交于点$I$，$BE$，$CD$分别交$AC$，$AB$边于点$E$，$D$。点$I$到$DE$的垂线交$DE$于点$Q$，$QI$的延长线交$BC$于点$P$。
求证：$\angle A=60^\circ$的充要条件是$PI=2QI$。

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    我说是怎么这么眼熟悉，求60度的：forum.php?mod=viewthread&tid=4464&ext … er=type&typeid=2

    转载，附件是0.1的几何证明

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0.1这个证明很强，反过来，当$\angle BAC=60^\circ$时，在$BC$边上取点$Y$，使$\angle BYF=60^\circ$，则$A$，$F$，$Y$，$C$四点共圆。
又$CF$为角分线，从而$$FY=FA.$$

另一方面，连接$IY$，可以证明$\angle IYC=120^\circ-\dfrac12 \angle ABC=\angle AEI$，所以$I$，$Y$，$C$，$E$四点亦共圆，进一步，可知，$$\angle EYC=\angle EIC=60^\circ=\angle BAE.$$
即$B$，$Y$，$E$，$A$四点共圆，再结合$BE$为角分线，所以$EY=EA$，连接$AY$，便有$EF\perp AY$，且$AX=XY$.

剩下与2楼证法中的前两行相同了。

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从这个角度来看，反而是哪四点成调和点列是难点。
而证明可以参考这帖的2楼或者12楼 forum.php?mod=viewthread&tid=4175&extra=