将正三角形置于平面坐标系内，三边斜率关系

isee

设$k_1,k_2,k_3$分别是一个等边三角形的三条边的斜率，又设它们都是有限的且全为不零，证明：
（1）$k_1k_2+k_2k_3+k_3k_1=-3$;
（2）$(k_1+k_2+k_3)(1/k_1+1/k_2+1/k_3)=9$.

kuing

直接代入 $k_{2,3}=(k_1\pm\sqrt3)/(1\mp\sqrt3k_1)$ 死算就行了吧……

isee

化归一元强算，理论可行的，不过，有没有整体运算法？

zhcosin

尝试寻找三个斜率满足的三次方程。。。。

isee

回复 4# zhcosin


    啧啧啧，敏锐！

色k

回复 5# isee

确实敏锐，被他一提示，我也想到了……

因为
\[\frac{k_{2,3}-k_1}{1+k_{2,3}k_1}=\pm\sqrt3,\]
那么 $k_1$, $k_2$, $k_3$ 是如下方程的三个根
\[\left( \left( \frac{x-k_1}{1+xk_1} \right)^2-3 \right)(x-k_1)=0,\]
去分母展开为
\[(1-3k_1^2)x^3+3k_1(k_1^2-3)x^2+3(3k_1^2-1)x+k_1(3-k_1^2)=0,\]
于是
\[k_1k_2+k_2k_3+k_3k_1=\frac{3(3k_1^2-1)}{1-3k_1^2}=-3,\]
以及
\[(k_1+k_2+k_3)\left(\frac1{k_1}+\frac1{k_2}+\frac1{k_3}\right)
=\frac{-3(k_1+k_2+k_3)}{k_1k_2k_3}=\frac{-3\cdot 3k_1(k_1^2-3)}{k_1(3-k_1^2)}=9.\]

zhcosin

回复 6# 色k
niubility, 我还在想复数和极坐标呢。。。。。

游客

isee

8楼的图片，需要转成文字，mark下。

isee

回复  isee

确实敏锐，被他一提示，我也想到了……

因为
\[\frac{k_{2,3}-k_1}{1+k_{2,3}k_1}=\pm\sqrt3 ...
色k 发表于 2017-10-10 17:49

    这也很棒的过程。。。

色k

回复 10# isee

那怎么我的没威望呐

isee

回复 11# 色k


    24小时才能加一个威望，so,再何况，还是个马夹。。。。。

色k

回复 12# isee

原来如此

realnumber

回复 12# isee


   可以加的，没24小时限制