证$\sqrt{xyz}\leqslant \frac {x+y+z}3$

isee

设$x,y,z$都是正数，满足关系$$\frac 1x+\frac 1y+\frac 1z\geqslant \frac {27}{8}.$$证明：$$\sqrt{xyz}\leqslant \frac {x+y+z}3.$$

色k

总感觉你抄错题，因为按现在的条件很容易证出更强式
\[\sqrt{\frac98xyz}\le\frac{x+y+z}3.\]

isee

回复 2# 色k


    我相信我抄的对，我也相信你加强也是对，我只是觉得这个不等式有点好看罢了，哈哈。

色k

回复 3# isee

这个不会又是那个600著名题里面的吧？

isee

回复 4# 色k


   最近全是，我会把我觉得我看得懂的挑上来大家看看。

   一般都会被你们解决掉。

kuing

回复 5# isee

……
所以我搞不懂选题标准，这题实在是差……

其妙

总感觉你抄错题，因为按现在的条件很容易证出更强式
\[\sqrt{\frac98xyz}\le\frac{x+y+z}3.\] ...
色k 发表于 2017-9-20 23:24

我知道isee为什么会选这道题了，假如是你的加强的题，isee是不会选的，

isee

虽2#有加强，不过，主楼命题现无其二证法，应该还算是不好证明的不等式。

isee

对主楼命题：

已知条件化简整理即为$$\frac {27}8xyz\leqslant xy+yz+zx.$$
于是
\begin{align*}
\sqrt{xyz}\leqslant \frac {x+y+x}3\iff 9xyz\leqslant (x+y+z)^2.
\end{align*}
从而
\begin{align*}
9xyz=\frac 83\cdot\frac{27}8xyz\leqslant\frac 83(xy+yz+zx).
\end{align*}

需证$$\frac 83(xy+yz+zx)\leqslant (x+y+z)^2\iff \frac 23(xy+yz+zx)\leqslant x^2+y^2+z^2.$$

此至，对正数而言，这是显然的了.

isee

回复 2# 色k


    主楼的真的很弱哦，我都会证，哈哈。。。。。

色k

回复 10# isee

你证完也应该会发现可以加强了吧？

isee

回复 11# 色k


    确实！