我个人觉得此三角等式会沉下去$12\cos \frac{2\pi}{13}=\cdots$

zhcosin

回复 16# hejoseph
太强大了

hejoseph

回复 20# kuing
高斯和

isee

回复 16# hejoseph

“分圆多项式”，所以有8楼，“作出角$\pi/7$”吧？

hejoseph

回复 24# isee
是的

zhcosin

接着何版16#,17#的思路算了一下，但愿没有算错

zhcosin

不过话说，三次方程的三角解法，其实等于没有求解，因为已知一个角的余弦，要求它的三分之一的余弦，这本身就是要解三次方程，所以这本质上只是换了个马甲而已，不过它在表达实系数三次方程的实数根这一点上倒是有用。

kuing

回复 26# zhcosin

分解有误，应该是
\[
\left(x^3+\frac{1+\sqrt{13}}2x^2-x-\frac{3+\sqrt{13}}2\right)
\left(x^3+\frac{1-\sqrt{13}}2x^2-x-\frac{3-\sqrt{13}}2\right)
=0,\]
另外，由于是 $2\cos(2\pi/13)$，所以考虑的区间应该是 $(0,2)$，而两个因式在 $(0,2)$ 内都有解，所以还得做一些数值估计来判断是哪个根。

建议还是用20楼的，可以少做一步判断属于哪个方程。
从20楼的来看，就是后面的因式，另外显然大于 1，所以区间缩小为 $(1,2)$，后面的因式在此区间内只有一根，也是最大根，就是它了。

hejoseph

$0<2\pi/13<\pi/6$，于是 $\sqrt 3<2\cos(2\pi/13)<2$，用这个区间去估计就很可以了。

isee

原书 冯贝叶 编译 的过程如下（冯贝叶个人喜欢暴力计算的解法），算是对细节补充。

hejoseph

这个排版明显是方正系统的，两行距离也太近了吧，如果不是公式短两行都重叠了，方正的也不至于这样吧。

isee

回复 31# hejoseph

我觉着是排版的偷懒，把公式挤一起了。

kuing

回复 30# isee

这证明……实在是不想看

hejoseph

有点奇怪，既然都有 $(\cos\alpha+\mathrm i\sin\alpha)^{13}$ 这步了，怎么不用分圆多项式求 $2\cos\alpha$ 所满足的方程？分圆多项式是数论里很重要的内容啊。

zhcosin

回复 28# kuing

汗，竟然第一步就错了。。。。。

青青子衿

\begin{align*}
\cos\left(\dfrac{2\pi}{13}\right)=
\frac{\sqrt{13}-1}{12}\left( 1+\frac{\sqrt{13}+1}{6}\cdot \sqrt[3]{\frac{26-5\sqrt{13}-3i\sqrt{39}}{2}}+\sqrt{13}\cdot \sqrt[3]{\frac{9+5i\sqrt{3}+2i\sqrt{39}}{234}}\,\right)

\end{align*}