2016北京大学生命科学冬令营一个题

lemondian

设直角梯形的高为 2 ，其两条对角线交点为 P ，以它的两底中点的连线为直径的圆与此梯形的直腰相交
于点 E 和 F ，则 P 到 E 和 F 这两点的距离之和为 ( )
A. √2  B.  2  C. 1  D. 以上均不对

游客

作图结果，P的轨迹是以E、F为焦点，直腰为长轴的椭圆的一部分。

hejoseph

若圆心为 $O$，则点 $E$、$F$、$O$、$P$ 共圆，不过没去证明

kuing

引理 1：如左图，椭圆两顶点为 `A`, `B`，其上任一点 `P` 的切线与过 `A`, `B` 且垂直于 `AB` 的两直线交于 `D`, `C`，则 `AD:BC=PD:PC`。

        

引理 1 的证明：作伸缩变换还原为圆，如右图，还原后由切线长相等显然有 `AD':BC'=P'D':P'C'`，而变换前后两边的比值不变，故还原前等式亦成立。

利用同一法可证引理 1 的逆命题，即如下命题成立。

命题 1：直角梯形 `ABCD`，`AB` 为直腰，`P` 为 `CD` 上一点且满足 `AD:BC=PD:PC`，则以 `A`, `B` 为顶点且过 `P` 的椭圆与 `CD` 切于 `P`。

引理 2：如下图，`P` 为椭圆上不是长轴顶点上任一点，过点 `P` 的切线与过长轴顶点与长轴垂直的直线相交于点 `S`, `T`，则以线段 `ST` 为直径的圆过这个椭圆的两个焦点。



引理 2 的证明见：bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=355335（链接已失效，请看 11#）


回到原题，如下图。



设以 `A`, `B` 为顶点且过 `P` 的椭圆为 `\Gamma`，由 `C`, `D` 是中点易知 `PD:PC=AD:BC`，故由命题 1 知 `\Gamma` 与 `CD` 切于 `P`，故由引理 2 知 `E`, `F` 就是 `\Gamma` 的两焦点，从而 `PE+PF=AB`。

lemondian

回复 4# kuing


    NB呀！

乌贼

如图：设边$ AD,BC $的中点分别为$ M,N $，易证$ AC,BD,MN $交于点$ P $。
$ J,H $分别为$ MN,LM $的中点，由\[ \dfrac{EK}{KO}=\dfrac{AL}{LH}=\dfrac{BN}{JO}=\dfrac{NC}{JO}=\dfrac{NP}{PO}\riff PO=KO\riff\angle OEP=\angle ONK \]
延长$ EP,EO $分别交园于$ G,Q $。有\[ EG=LN=AB \]，\[ \angle POG=\angle EOL=\angle FOP \]故\[ \triangle FOP\cong \triangle GOP\riff EP+PF=EG=AB \]

lemondian

@kuing：
能不能将4#的命题1，及引理2的证明过程写出来呢？
人教网上不了，谢谢！

敬畏数学

回复 6# 乌贼
平几太神了。

敬畏数学

这个冬令营的题。有点意思。

lemondian

那位达人能将4#的引理2的证明写写？先行谢谢了！

kuing

@kuing：
能不能将4#的命题1，及引理2的证明过程写出来呢？
人教网上不了，谢谢！ ...
lemondian 发表于 2017-12-2 18:28

等人教论坛恢复看来是机会渺茫，幸好以前存档了数学兴趣小组的全部帖子，根据 tid 找到：



完整的帖子见附件： tid=355335 - 新春有奖答题15：椭圆切线问题.pdf (378.95 KB, Downloads: 6569)

2017-12-6 22:31 Upload

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lemondian

谢谢kuing！
有一个地方写错了：$\angle SF2F2 $