一道平面向量问题

敬畏数学

平行四边形ABCD中，M，N为CD边的三等分点，S为AM与BN的交点，P为AB上的一动点，Q为三角形SMN内一动点（含边界），向量PQ=x向量AM+y向量BN，则x+y的取值范围是————————。

游客

把向量起点移到同一点，根据三点共线定理，结论是[2/3，1]。

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回复 2# 游客
愿闻其详！

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此解法强大！小瑕疵，答案3/4≤x+y≤1。

敬畏数学

此题其实也可以这样玩(坐标法）。选向量AB,BC为基向量，把向量PQ,AM,BN用这基向量表示出来，设BP=mBA，BQ=sBA+tBC(其实相当于建立一个斜的坐标系ABC)，则有PQ=（s-m）BA+tBC=2/3(y-x)BA+(x+y)BC,从而有；
x+y=t，从图上可知，t=|HQ|/|BC|,其中，H点为过Q点平行于直线BC与AB的交点，显然当H点在S点处时，t取得最小为3/4,当H点落在线段MN上任意一点时，t取得最大为1.所以x+y∈[3/4,1].#