关于$n$次单位根的一个恒等式

其妙

川木寻叶

左右两边同时乘以右边的分母，则左右两边均为n次多项式（注意x^n-1=prod_i(x-Z_i)）。

因为它们首项系数相等，故只需验证n个值即可。将1的n个根代入，右边很清楚总是2n；至于左边，比如可用L'Hopital法则求出亦是2n。

力工

回复 2# 川木寻叶

图片根本看不清。还是根本没准备让别人看清?
特么地原来显示有问题。

其妙

回复 2# 川木寻叶
思路好像有道理

hejoseph

回复 2# 川木寻叶

$n$ 次多项式等于 0 有 $n$ 个不同的根不足以证明其为恒等于 0，需要 $n+1$ 个不同的根才可以，这里再取 $x=0$ 是很容易证明也是根的。

色k

回复 5# hejoseph

他已经说了首项系数相等所以n个足矣

tommywong

$\displaystyle\frac{1}{(x-z_k)(x-1/z_k)}=\frac{1}{x^2-1}(\frac{x}{x-z_k}-\frac{1/x}{1/x-z_k})$

$\displaystyle f(x)=\prod_{k=0}^{n-1} (x-z_k)=x^n-1$

$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{x-z_k}=\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{nx^{n-1}}{x^n-1}$

$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{(x-z_k)(x-1/z_k)}=\frac{1}{x^2-1}(x\frac{nx^{n-1}}{x^n-1}-\frac{1}{x}\frac{nx^{1-n}}{x^{-n}-1})=\frac{n(x^n+1)}{(x^n-1)(x^2-1)}$

kuing

回复 7# tommywong

这解法不错

其妙

回复 7# tommywong
这解法不错