请教一个不等式

lemondian

kuing

成立。
易证对 $x>0$ 有
\[\frac{\sqrt{1+8x}}9-\frac1{\sqrt{1+8x}}\geqslant\frac8{27}\ln x,\]
下略。

kuing

噢，原来还是下凸的，那就更无需切线了……
设
\[g(x)=\frac{\sqrt{1+8e^x}}9-\frac1{\sqrt{1+8e^x}},\]
求二阶导数得
\[g''(x)=\frac{8e^x(16e^{2x}-12e^x+5)}{9(1+8e^x)^{5/2}}>0,\]
下略。

lemondian

回复 3# kuing
@Kuing:可否写得详细点，我蛮怕不等式的证明的，看不懂哩！

lemondian

回复 3# kuing
Kuing？再帮个忙吧

kuing

回复 5# lemondian

就是换个元而已啊

lemondian

回复 6# kuing


    换元的我了解：如二楼：令x=bc/a^2,然后我就看不懂了
三楼也差不多是这样，然后就没有然后了。。。

kuing

回复 7# lemondian

二楼是令 $x=bc/a^2$ 等等则 $xyz=1$，证出那条式子之后加起来就行了啊。
三楼是令 $e^x=bc/a^2$ 等等则 $x+y+z=0$，然后由那条式子用琴生搞定啊。

lemondian

回复 8# kuing


    哥的跳跃太大了，能力还跟不上呀
比如说：如何证明2楼的不等式成立？

色k

回复 9# lemondian

最直接的求导就行了啊，别太懒

lemondian

回复 10# 色k


    我也是这样搞的，为何总做不出来呢？还是能力呀
法二倒是可以了。

lemondian

还是不行，唉。。。

kuing

回复 12# lemondian

哪里遇到问题？

lemondian

回复 13# kuing

法二我弄懂了，法一那个不等式我证不了哩

lemondian

@kuing,@色k:麻烦写一下法一不等式的证明呗。先行谢谢了

lemondian

费了好久功夫，这样证明不知是否可行？
有没有更为简单的证法昵？请问各位大牛们

lemondian

@kuing,@色k
我试着“法一”用切线来证，但

然后呢？我做不下了了！
跪求解法

kuing

回复 17# lemondian

这说明这样切就放过头了……

lemondian

回复 18# kuing


    那么，应如何做？求下一个吧

kuing

回复 19# lemondian

这样行不通那就扔掉再想别的啊