二元条件最值，请教一下

aaa

已知 $mn=2$， 求 $(m+1)^2+(n+1)^2$ 的最小值

力工

回复 1# aaa

不是有几何意义吗？圆与双曲线第三象限那支相切。

aaa

回复 2# 力工


    谢谢。

其妙

回复 3# aaa
代数的方法：展开后均值不等式立刻就会搞定了！
$mn=2$， 则$(m+1)^2+(n+1)^2=(m+n+1)^2-3$，
当$m,n>0$时，$m+n\geqslant2\sqrt2$,
当$m,n<0$时，$m+n\leqslant-2\sqrt2$,
明显取$m+n=-2\sqrt2$时，$(m+1)^2+(n+1)^2=(m+n+1)^2-3$取得最小值$6-4\sqrt2$
或者柯西不等式：
$(m+1)^2+(n+1)^2\geqslant\dfrac{(m+n+2)^2}2\geqslant\dfrac{(-2\sqrt2+2)^2}2=6-4\sqrt2$

力工

回复 4# 其妙

三角换元。不讨论

aaa

回复 4# 其妙

谢谢！

其妙

回复 5# 力工
这个也算讨论？