平面向量一题，求解法。

xianjian

参考答案感觉有点难想到，有没有简单容易上手的解法，请指点。

zhcosin

回复 1# xianjian
解法一 我们伸缩$\vec{AP}$使其终点落在$BC$边上，为此需要放缩系数，使它的系数和为1:
\[ \vec{AP}=\frac{7}{10}\left( \frac{3}{7} \vec{AB}+\frac{4}{7} \vec{AC} \right) \]
括号内的部分系数和为1，因而以$A$作起点作出此向量，则它的终点在$BC$边上，又显然它与$\vec{AP}$共线，所以它就是直线$AP$与$BC$的交点，记为$E$，则
\[ \vec{AE}= \frac{3}{7} \vec{AB}+\frac{4}{7} \vec{AC} \]
以及
\[ \vec{AP}=\frac{7}{10}\vec{AE}\]
显然由$\vec{AE}$的表达式可得
\[ \vec{BE}=\frac{4}{3}\vec{EC} \]
即$BE:EC=4:3$，所以答案是
\[ \frac{S_{\triangle{APD}}}{S_{\triangle{ABC}}}= \frac{BE}{BC} \cdot \frac{AP}{AE} \cdot \frac{AD}{AB} = \frac{4}{4+3}\cdot\frac{7}{10}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{10} \]

isee

这类题比较多，除了楼上，还有，如，随手找到个链接

注意
“参阅 《撸题集》第1019页FAQ21”

zhcosin

解法二 利用外积，为方便书写，先定义共线向量的除法运算，如果$\vec{a}=\lambda\vec{b}$，则定义$\frac{\vec{a}}{\vec{b}}=\lambda$，那么
\[ \frac{S_{\triangle{APD}}}{S_{\triangle{ABC}}} = \frac{\vec{AD}\times\vec{AP}}{\vec{AB}\times\vec{AC}} = \frac{\frac{3}{4}\vec{AB}\times \left( \frac{3}{10}\vec{AB}+\frac{2}{5}\vec{AC} \right)}{\vec{AB}\times\vec{AC}} = \frac{\frac{3}{4}\vec{AB}\times\frac{2}{5}\vec{AC}}{\vec{AB}\times\vec{AC}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3}{10} \]

zhcosin

解法三 既然是选择题，那我就找个特殊的三角形算一下啦，设三角形ABC是以A为顶点的等腰直角三角形，吧啦吧啦吧啦……

敬畏数学

解法一：等腰直角三角形最简单，首先
解法二：利用向量AP*Sa+向量BP*Sb+向量CP*Sc=向量0
解法三：其实就是一道平面几何题，过P作直线PE平行AC交AB于点E，显然|PE|=2/5|AC|,S△APD=3/4S△APB,S△APB=2/5S△ABC,所以；

S△APD=3/10S△ABC

isee

高手过招，就如古龙小说中的人比武，未见动静，就结束了

xianjian

谢谢各位指点！！！
想到了直角三角形这种情况。

xianjian

回复 7# isee


    小李飞刀，例无虚发，一刀封喉。

zhcosin

话说向量符号怎么这么丑？？？

isee

回复 10# zhcosin


    不用默认，用\vv （kuing 这里也支持），或者 粗体 \bm，默认是很难看，不过，更显得内容精彩

kuing

回复 11# isee

丑的是箭头的样子，所以用默认还是这里的 \vv 都丑，只有在真 LaTeX 里用 esvect 宏包的 \vv 改变了箭头的样子才会不丑。
单字母用 \bm 粗体，但双字母只能用箭头，所以在这里是没办法的……

kuing

这帖毅然变成水帖