一个群里的高二向量最值

2009

已知平面上三个不同的单位向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{c}=\frac{1}{2}$ ，若 $\vec{e}$ 为平面内的任意单位向量，则 $|\vec{a} \cdot \vec{e}|+2|\vec{b} \cdot \vec{e}|+3|\vec{c} \cdot \vec{e}|$ 的最大值为

游客

条件说明a、b、c夹角确定，然后就用绝对值讨论，
要使等号能取到，必须注意e与a、b、c的数量积的符号。

kuing

依题意知 $\langle\bm a,\bm b\rangle=\langle\bm b,\bm c\rangle=60\du$，设 $\langle\bm e,\bm b\rangle=\theta$，则由柯西不等式有
\begin{align*}
\abs{\bm a\cdot\bm e}+2\abs{\bm b\cdot\bm e}+3\abs{\bm c\cdot\bm e}
&\leqslant \sqrt{(1^2+2^2+3^2)\bigl((\bm a\cdot\bm e)^2+(\bm b\cdot\bm e)^2+(\bm c\cdot\bm e)^2\bigr)}\\
&=\sqrt{14\bigl(\cos^2\theta+\cos^2(\theta+60\du)+\cos^2(\theta-60\du)\bigr)},
\end{align*}
不难证明对任意 $\theta$ 恒有
\[\cos^2\theta+\cos^2(\theta+60\du)+\cos^2(\theta-60\du)=\frac32,\]
因此
\[\abs{\bm a\cdot\bm e}+2\abs{\bm b\cdot\bm e}+3\abs{\bm c\cdot\bm e}\leqslant \sqrt{21},\]
不难验证当 $\theta=\arctan\sqrt{4/3}$ 且 $\langle\bm e,\bm c\rangle=60\du-\theta$ 时等号成立，所以最大值就是 $\sqrt{21}$。

游客

回复 2# 游客


    实际就是计算12个数据，找到符合的一个就可以。
(a±2b±3c)分别与a、b、c的数量积的符号。
比如3楼的方法，就是选择了(a-2b-3c)分别与a、b、c的
数量积的符号依次为+、-、-.

敬畏数学

不妨设，a=（1，0），b=（1/2，根号3/2）,C=(-1/2,根号3/2)，e=（cosm，sinm），m∈[0，2π],则所求的即为|cosm|+2|cos(m-60°)|+3|cos(m+60°）|，由柯西不等式，有（|cosm|+2|cos(m-60°)|+3|cos(m+60°）|）^2<=(1^2+2^2+3^2)[（cosm)^2+（cos(m-60°)^2+（cos（m+60°）^2],而[（cosm)^2+（cos(m-60°)^2+（cos（m+60°）^2]=3/2，则所求的最大值为根号21。等号成立1/|cosm|=2/|cos(m-60°)|=3/|cos(m+60°)|，此时m满足tanm=（-5）*根号3/3#。

kuing

不妨设，a=（1，0），b=（1/2，根号3/2）,C=(-1/2,根号3/2)，e=（cosm，sinm），m∈[0，2π],则所求的即为|cosm|+2|cos(m-60°)|+3|cos(m+60°）|，由柯西不等式，有（|cosm|+2|cos(m-60°)|+3|cos(m+60°）|）^2<=(1^2+2^2+3^2)[（cosm)^2+（cos(m-60°)^2+（cos（m+60°）^2],而[（cosm)^2+（cos(m-60°)^2+（cos（m+60°）^2]=3/2，则所求的最大值为根号21。等号成立1/|cosm|=2/|cos(m-60°)|=3/|cos(m+60°)|，此时m满足tanm=（-5）*根号3/3#。
敬畏数学 发表于 2017-10-16 12:29

柯西的解法上面就写过了，而且你写的还有点问题……

PS、你这排版实在……唉……

敬畏数学

回复 6# kuing
有错误，请指出啊。

kuing

回复 7# 敬畏数学

不好意思，是我刚才没看仔细，你设的和我的不同，你的也是对的……

敬畏数学

回复 8# kuing
确实我的那个很难看，眼睛很吃力。

敬畏数学

此题估计是不让人用纯几何法来做吗？果真如此？那个角很不一般啊。。

isee

回复 9# 敬畏数学


    式子写这样的，已经完成LaTeX的90%以上代码了，如果想偷懒，全文的 首尾 各加一个美元符号 就差不多了。

kuing

回复 11# isee

你就别坑他了，90%？要改的地方超多，首尾加美元符号根本没用，简直只能重新码。

isee

回复 12# kuing


    也罢也罢。。。

isee

题目：已知平面上三个不同的单位向量$\bm a$，$\bm b$，$\bm c$满足$\bm a\cdot \bm b=\bm b \cdot \bm c=1/2$，
若$\bm e$为平面内的任意单位向量，则$\abs{\bm {a\cdot e}}+2\abs{\bm {b\cdot e}}+3\abs{\bm {c\cdot e}}$的最大值为_____.

解：$$\abs{\bm {a\cdot e}}+2\abs{\bm {b\cdot e}}+3\abs{\bm {c\cdot e}}=\abs{\bm {a\cdot e}}+\abs{\bm {c\cdot e}}+2\left(\abs{\bm {b\cdot e}}+\abs{\bm {c\cdot e}}\right).$$
有点问题，这图是系数为1，3，2， 待改。

kuing

回复 14# isee

没看懂

PS、\bm {a\cdot e} 这种写法是不对嘀，因为点也变粗了

isee

回复 15# kuing

嗯，是有部分点加粗了，请无视咯。

14#求的是（求错了）
$$\bm {a\cdot e}+3\bm {b\cdot e}+2\bm {c\cdot e}$$
最大值。

敬畏数学

回复 14# isee
等待你的几何法。

isee

回复  游客


    实际就是计算12个数据，找到符合的一个就可以。
(a±2b±3c)分别与a、b、c的数量积的符 ...
游客 发表于 2017-10-16 12:03

    老江湖，老司机啊，我才明白游客说的意思！所以，这个几何法，对此题不实用，但14楼的图有参考意义，就是将4#四种情形图形化，考试里不划算。

    不过，明白原理后，这类题题直接被秒了。四选一的结果。

isee

这里画了蛇，还是添个足吧。

先看两个平面几何命题：

1. 平行四边形$ABCD$中，当$\angle BAD<90^\circ$时，$AC>BD$;当$\angle BAD>90^\circ$时，$AC<BD$.
2. 平行四边形$ABCD$中，相邻两边在任意直线上的投影和$l$（不涉及有向线段）不超过较长对角线的长，$l\leqslant \max\{AC,BD\}$.

先看一道高考题(主楼退化情形)：
已知平面向量$\bm a$，$\bm b$，$\abs{\bm a}=1$，$\abs{\bm b}=2$，$\bm a\cdot \bm b=1$．若$\bm e$为平面单位向量，则$\abs{\bm a\cdot \bm e}+\abs{\bm b \cdot \bm e}$的最大值是______.

本高考题用几何法，是容易的，如图所示，$A',B',C'$分别为$A，B，C$在单位向量$\bm e$的投影.

$$\abs{\bm a\cdot \bm e}+\abs{\bm b \cdot \bm e}=OA'+OB'=OC'\leqslant OC=\sqrt 7.$$

一般情况，最大值亦是两向量组成平行四边形的较长对角线长。

当碰到主楼三个“和”时，思考方向依然如些时，会受阻，三个线段在图形中不好集中，或者我没想到好办法让其能取得最大值。

只好退而取其次，就是把题中的绝对值给去掉！

就主楼而言，去绝对值一共有6种情况，但每种情形其实都是求“平行四边形的对角线长”，估只需要算$(\bm a +2\bm b -3\bm c）^2,(\bm a +2\bm b +3\bm c）^2,(\bm a -2\bm b -3\bm c）^2
$这三个值，其中最大即为所求。
比用柯西麻烦多了，不过，三元柯西不等式，高考不作要求，真不知道，此题的标答在高考范围内是如何处理的。

乌贼

回复 10# 敬畏数学
几何法是有的，不过麻烦点（需分类）

1.当$\abs{\bm {a\cdot e}}$=$\abs{\bm {b\cdot e}}+ \abs{\bm {c\cdot e}} $时不考虑；
2.当$\abs{\bm {b\cdot e}}$=$\abs{\bm {b\cdot e}}+ \abs{\bm {c\cdot e}} $时见图虚线；
令\[ OB_2=\dfrac{3}{2}\times OB \]
\[ \abs{\bm a\cdot\bm e}+2\abs{\bm b\cdot\bm e}+3\abs{\bm c\cdot\bm e}=3\abs{\bm b\cdot\bm e}+2\abs{\bm c\cdot\bm e}=2\times MN\leqslant 4\times O_1O_3=\sqrt{19} \]
3.当$\abs{\bm {c\cdot e}}$=$\abs{\bm {b\cdot e}}+ \abs{\bm {a\cdot e}} $时见实线；
令\[ OB_1=\dfrac{1}{4}\times OB \]
\[ \abs{\bm a\cdot\bm e}+2\abs{\bm b\cdot\bm e}+3\abs{\bm c\cdot\bm e}=\abs{\bm b\cdot\bm e}+4\abs{\bm c\cdot\bm e}=4\times PQ\leqslant 8\times O_1O_2=\sqrt{21} \]
补充：\[ O_1O_2\geqslant O_1P=\dfrac{1}{2}AB \]