可以玩玩的不等式

血狼王

若 $a,b,c$ 为非负实数，则有
$$a\sqrt{a^2+3b^2}+b\sqrt{b^2+3c^2}+c\sqrt{c^2+3a^2}\geq \frac{2}{3}(a+b+c)^2.$$

血狼王

好吧我自己给出一个证明……
易证$\sqrt{a^2+3b^2}\geq \frac{a^2+2ab+5b^2}{a+3b}.$
所以我们只需证明
$$\sum a\frac{a^2+2ab+5b^2}{a+3b}\geq \frac{2}{3}(a+b+c)^2$$
即
$$\sum (a\frac{a^2+2ab+5b^2}{a+3b}-\frac{7a^2+16ab+b^2}{12})\geq 0$$
亦即
$$\sum \frac{(a-b)^2(5a-3b)}{a+3b}\geq 0.$$
(待续)

力工

回复 2# 血狼王

期待着你的更新。怎么还不更呢？
看来可以改为：若$a,b,c\geqslant -1$，则有$a\sqrt{a^2+3b^2}+b\sqrt{b^2+3c^2}+c\sqrt{c^2+3a^2}\geqslant \frac{2}{3}(a+b+c)^2$.

kuing

回复 3# 力工

怎么可以改成负？都负时显然不成立啊

血狼王

回复 3# 力工


接下去我用SOS做，卡住了……一时间没有什么思路

力工

回复 4# kuing

    是的，我错了，没注意到可以都负,