|
|
kuing
Posted 2017-10-21 01:22
不知道如何用 A 去证 B，但直接证 B 并不难，用调整法即可。
首先去分母，即证
\[f(a,b,c,d,e)=
a^2b^2c^2d^2+a^2b^2c^2e^2+a^2b^2d^2e^2+a^2c^2d^2e^2+b^2c^2d^2e^2
\leqslant 1.\]
若有某个变量为零则不等式显然成立，比如 $e=0$ 时有
\[f(a,b,c,d,0)=a^2b^2c^2d^2\leqslant \left(\frac{a+b+c+d}4\right)^8=1.\]
现在，固定 $a$, $b$, $c$，则 $d+e$ 也固定，将 $f$ 整理为
\[f(a,b,c,d,e)=
a^2b^2c^2(d+e)^2-2a^2b^2c^2de+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)d^2e^2,\]
即 $f$ 为关于 $de$ 的开口向上的二次函数，而 $d+e$ 固定则 $de$ 的最大值当 $d=e$ 取得，最小值为零，故此，我们有
\[f(a,b,c,d,e)\leqslant \max \left\{ f(a,b,c,0,d+e),f\left( a,b,c,\frac{d+e}2,\frac{d+e}2 \right) \right\},\]
右边大括号内的两项中，前者有零所以 $\leqslant 1$，只需证后者也 $\leqslant 1$。
同样地，我们固定 $a$, $d$, $e$，亦有
\[f\left( a,b,c,\frac{d+e}2,\frac{d+e}2 \right)\leqslant \max \left\{
f\left( a,0,b+c,\frac{d+e}2,\frac{d+e}2 \right),
f\left( a,\frac{b+c}2,\frac{b+c}2,\frac{d+e}2,\frac{d+e}2 \right)
\right\},\]
同样前者有零，只需证后者 $\leqslant 1$。
继续调整，下面证明对 $x$, $y\geqslant 0$ 有
\[f(a,2x,2x,2y,2y)\leqslant f(a,x+y,x+y,x+y,x+y),\]
经计算可知上式等价于
\[(x-y)^2\Bigl(4a^2\bigl((x^2-y^2)^2+8xy(x^2+y^2)\bigr)
+x^6+10 x^5 y+47 x^4 y^2+140 x^3 y^3+47 x^2 y^4+10 x y^5+y^6\Bigr)\geqslant 0,\]
显然成立。
由此可见，我们只需证明当 $b=c=d=e$ 时不等式成立即可，亦即证明对任意 $t\in[0,1]$ 恒有
\[f(4-4t,t,t,t,t)\leqslant 1,\]
化简得
\[f(4-4t,t,t,t,t)=65 t^8-128 t^7+64 t^6=g(t),\]
求导得
\[g'(t)=8 t^5 (5 t-4) (13 t-12),\]
从而
\[g(t)\leqslant \max\left\{g\left(\frac45\right),g(1)\right\},\]
经计算可知 $g(4/5)<g(1)=1$，所以 $g(t)\leqslant 1$ 成立。
综上所述，不等式 B 获证。 |
|
