[综合]3x4长方形内6点总有两点距离$\le\sqrt5$

教学乡长

题目：在 $3\times4$ 的长方形中，任意放置6个点，证明：可以找到两个点，它们的距离不大于 $\sqrt5$。

另外，这个 $\sqrt5$ 是否最佳？如果不是，如何改进？

zhcosin

把这个$4\times3$的矩形划分为6个$2\times1$的小矩形，这些小矩形只有边的重合，面积不会重合，那么如果六个点中有两个点落在同一个小矩形内，那么显然它俩距离不超过$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，而如果是六个小矩形内各有一个点（没有点落在公共的边界上，否则就转化为前一种情形），那么此时做一个小说明就可以证明到（有点细节，不想动脑了），而且可以构造出$\sqrt{5}$的例子。

Tesla35

公司换了网络。能登陆论坛了

kuing

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zhcosin

回复 3# Tesla35
为了上论坛，你为啥不跳槽？

Tesla35

回复 5# zhcosin

自己的公司跳啥槽

色k

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zhcosin

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niubility

kuing

回复 2# zhcosin

话说回来，六个小矩形内各有一个点时到底应该怎么证明？

abababa

回复 9# kuing
不太懂那个证明，这题曾经看网友做过，构造的是下面这个图：

这个就很好理解，必有一个颜色的区域里有两个点，这两点距离满足条件。

kuing

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zhcosin

回复 9# kuing
还没细想