函数连续性

APPSYZY

设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, \quad x \in \mathbf{Q} \\ 0, x \in \mathbf{Q} / \mathbf{R}\end{array}\right.$ ，求证：$f(x)$ 在非零的 $x$ 处都不连续．
问题一：
（1）＂$f(x)$ 在点 $x_0$ 连续 $\Leftrightarrow \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ ，当 $\left|x-x_0\right|<\delta$ 时，有 $\left|f(x)-f\left(x_0\right)\right|<\varepsilon$＂
（2）＂$f(x)$ 在点 $x_0$ 不连续 $\Leftrightarrow \exists \varepsilon>0, \forall \delta>0$ ，当 $\left|x-x_0\right|<\delta$ 时，有 $\left|f(x)-f\left(x_0\right)\right| \geq \varepsilon$＂
运用（1）的否定形式（2）能否证明这道题？
问题二：
参考答案取了极限都为 $r$ 的有理数列和无理数列，请问这里用到了怎样的思想和背景？
问题三：是否有更妙的解法？

zhcosin

问题一：连续定义是bababa，你要证明它不连续，不就是证明它不满足bababa 吗，也就是那个否定形式吗？
问题二：这不是数学问题，这是哲学问题，请发到哲学论坛上，真要回答的话，答案是“马克思主义思想”。
问题三：更妙的标准是什么，字数更短？

建议：认真看书，如果还不会做这种题目，那就继续看书，要是看了三遍还是不会，换一本书再看。

abababa

回复 1# APPSYZY
为证明$f(x)$在点$a \neq 0$处不连续，根据连续的定义，只要证明对任意的$\delta > 0$都存在$\varepsilon > 0$，使得存在一个$x$，满足$\abs{x-a} < \delta$但$\abs{f(x)-f(a)} \ge \varepsilon$。
1. 当$a \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$时，存在$x \in \mathbb{Q}$且$\abs{x-a} < \delta$，于是有$a-\delta < x < a+\delta$，即总有$\abs{x} > \min(\abs{a-\delta},\abs{a+\delta})$。为使$\varepsilon \le \abs{f(x)-f(a)} = \abs{x-0} = \abs{x}$，只要取$\varepsilon < \min(\abs{a-\delta},\abs{a+\delta})$即可。

2. 当$a \in \mathbb{Q}$时，由无理数的稠密性知存在$x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$且$\abs{x-a} < \delta$。为使$\varepsilon \le \abs{f(x)-f(a)} = \abs{0-a} = \abs{a}$，只要取$\varepsilon = \frac{\abs{a}}{2}$即可。


于是对任意的$\delta > 0$都存在$\varepsilon > 0$，使得存在一个$x$，满足$\abs{x-a} < \delta$但$\abs{f(x)-f(a)} \ge \varepsilon$。即$f(x)$在点$x \neq 0$处不连续。

abababa

回复 3# abababa
网友给我讲的方法就是楼主说的那个否定形式吧。
那个有理数列和无理数列的，应该还是用到了实数的完备性。

APPSYZY

回复 3# abababa
谢谢前辈，大学数学我学的第一本书就是同济大学出版的高等数学，其中很多基础原理和性质都没有提及，比如实数的完备性，所以很多地方证明起来很费劲，我已经准备看《数学分析》来补一补数学基础了！

APPSYZY

回复 2# zhcosin


    不好意思让您见笑啦

zhcosin

回复 5# APPSYZY
我在2楼就已经建议你换书看了，如果你想弄懂这些问题，就不能看同济大学的《高等数学》，那是给非数学专业用的，你应该看数学专业的《数学分析》教材，下面是一些参考书:
1. 《数学分析》. 华东师范大学数学系. 高等教育出版社.
2. 《数学分析新讲》. 张筑新. 北京大学出版社.
3. 《高等数学引论》. 华罗庚. 高等教育出版社.

APPSYZY

回复 7# zhcosin
谢谢前辈，我的老师也建议我看数学系的教材

hbghlyj

首先申明这是我个人的看法，是不适合看自己。

我一个个说吧，吉米多维奇本，计算题太多，对分析帮助不是很大
徐森林数学分析很难有点违反认知规律
张筑生没题目，但是知识点详细，讲得很清楚，很照顾差生
裴礼文太厚，但是题目类型多，涵盖全。
华东师大入门非常好
卓里奇太深刻，建议要比较好的要比较好的分析功底和代数功底
微积分教程很详细，但是全部都是例题，没有练习，太厚而且有点啰嗦，但是当词典蛮好的
谢惠明很好，但是要有一定的基础，起码要会做华东师大在做谢惠民，这样好一些
张筑生的配套练习，感觉题目一般，做了之后对分析帮助不大
数学分析就这样吧。
我一直很建议先做完华东师大第四版数学分析，然后再做谢惠民看卓里奇，一本看，一本做。
我强烈推荐蓝以中， 我觉得蓝以中加丘维声高等代数指导丛书再加北大三版， 高等代数一定学的很好。 李炯生的太难不适合初学者， 许以超也太难也不适合初学者 ，张禾瑞冇得么子把戏，学完高等代数还冇入门， 丘维声学习指导丛书太厚抓不住重点，但是每个题目都有提示或者解答过程，买着当词典。 蓝以中高等代数简明教程适合初学者， 语言非常简单清晰， 但是题目难度和数量不够， 北大三版缺点是题目都在每一章的最后面，语言也一般。 但是三本结合在一起优势互补， 非常好。 建议看蓝以中的书，做蓝以中的题目，但是如果蓝以中的没有解答过程，或者解答过程看不懂，或者这个题目跨度太大就看丘维声和北大三版，一旦刷完蓝以中高等代数简明教程，高等代数就入门嘞，就可以做一些难题了。如果时间充足，先把丘维声高等代数学习指导刷完（因为你这个适合已经有基础嘞，并且蓝以中和丘维声有些题目一样），然后再做完许以超，包你上北大。
然后实变函数论和抽象代数
先讲实变函数论，我觉得那汤松的实变函数论真的写的很好，但就是有优势后可能翻译过来的话，语言就有点文言文的味道了。其他的很好，那汤松的题目我没有做过，学校发的是程其襄的，我觉得理论写的一般，中规中矩吧。夏道行的实变函数论与泛函分析基础我买了，但是我一直没看，所以不好评价。
抽象代数我觉得张禾瑞入门，丘维声深入，rotman参考，有时间要看一下artin的algebra。