二元函数的最值

敬畏数学

$x,y$均为正数，且$x+y\leqslant4$，则$\dfrac{4x+y}{xy}+\dfrac{2y-x}{4}$的最小值______？

kuing

x≤4-y，原式关于 x 递减，所以取最小时必定 x=4-y，代入后靠目测凑个系数即可均值解决。

敬畏数学

$f(x)=\dfrac{4x+y}{xy}+\dfrac{2y-x}{4}$,$x\in(0,4-y]$为减函数，所以有，
\begin{align*}
\frac{4x+y}{xy}+\frac{2y-x}{4}
&\geqslant\frac{4}{y}+\frac{1}{4-y}+\frac{3y}{4}-1\\
&=\frac{4}{y}+ty+\frac{1}{4-y}+s(4-y)-1-4s\\
&\geqslant4\sqrt{t}+4\sqrt{s}-1-4s\\
\end{align*}
等号成立，当且仅当；\[\frac{4}{y}=ty,\frac{1}{4-y}=s（4-y),t-s=\frac{3}{4}\]
解得：\[s=\frac{1}{4},t=1,y=2\]
即所求式子的最小值为3。

敬畏数学

解：
\begin{align*}
\frac{4x+y}{xy}+\frac{2y-x}{4}
&=\frac{4x+y}{xy}+\frac{2y-x+4}{4}-1\\
&\geqslant\frac{4x+y}{xy}+\frac{3y}{4}-1\\
&=\frac{4}{y}+\frac{1}{x}+\frac{3y}{4}-1\\
&=\frac{4-s}{y}+\frac{s}{y}+\frac{1}{x}+\frac{3y}{4}-1\\
&=\frac{4-s}{y}+\frac{3y}{4}+\frac{1}{x}+\frac{s}{y}-1\\
&\geqslant2\sqrt{\frac{3(4-s)}{4}}+\frac{(\sqrt{s}+1)^2}{x+y}-1\\
&\geqslant2\sqrt{\frac{3(4-s)}{4}}+\frac{(\sqrt{s}+1)^2}{4}-1\\
\end{align*}
等号成立，当且仅当满足；$\begin{cases}
x+y=4 \\
\dfrac{4-s}{y}=\dfrac{3y}{4}\\
s=1\end{cases}$
解得：\[s=1，x=y=2\]
即所求式子的最小值为3。

游客

消元或逐元法（留一个变量，其他看作常量）。

其妙

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