除了建系之外的解法

guanmo1

该题利用“等值线”应该可解，但作完与BD平行的切线后，线段长的比值怎么算呢？

乌贼

实则线性规划，非说别的如图过$ P $点作$ PF\perp AB $交$ AB $延长线于$ F $，过$ P $点作$ PE \px BD$交$ AB $延长线于$ E $，根据题意有\[ \lambda =AF\\u=FE \]则（$ AE' $与园相切时）\[ (\lambda +u)_{man}=AE'=3 \]

游客

过A作BD的垂线不就好了？
线段比例可考虑三角形相似。

敬畏数学

回复 1# guanmo1
连接AP，设AP交BD于E，则比值为|AP|/|AE|,过P作PG平行BD交AB的延长线于G，|AP|/|AE|=|AG|/|AB|=|AG|,最大值位于平行于BD且于圆C相切的位置。

走走看看

过A作BD的垂线不就好了？
线段比例可考虑三角形相似。
游客 发表于 2017-11-1 08:39

过A作BD的垂线就交不到圆了。

走走看看

回复 1# guanmo1


$楼主的意思，好像是知道P'点为所求，不知道\frac{AP'}{AG}怎么算。$
$借用乌贼大师的图，不难算出圆的半径=\frac{2}{\sqrt{5}}$。
$按红色的辅助线，三段相加，用解直角三角形知识，容易算出P'J=2，从而\frac{AP'}{AG}=3。$

$按照乌贼大师的意思要算AE'，也很容易算出，先算出AD'=6。也按三段相加。$

走走看看

回复 4# 敬畏数学

觉得你的办法也很好，不过不知道G是怎么作的，G在哪个位置呢？

敬畏数学

回复 7# 走走看看
笔误，已经说清楚了。

走走看看

好，谢谢！

isee

2017年全国卷III的第12题

我记得是好像看到过，这个标题太搜索到题了，故而做个标记。

其次，几何法，估计计算最快是将向量$\vv {AP}$转化为$\vv {CP}$是比较直接快速的

其妙

基向量方法就等价于建系吧（再来内积就是向这两个基向量方向分解）
那个等值线方法常常可以对付这种向量分解系数和，