二元分式函数的最值问题

敬畏数学

正数x 、y 满足xy=(x+y)/(x-y),实数x最小值？

zhcosin

目测没有最小值，且不考虑正数的限制，试图找到曲线的参数方程，再从参数找到$x$的范围。

令
\[ xy=t=\frac{x+y}{x-y} \]
可求得
\[ x^2=\frac{t(t+1)}{t-1} \]
由曲线$xy(x-y)=x+y$的对称性，只要找$x^2$的范围就行了，首先由
\[ \frac{t(t+1)}{t-1} \geqslant 0 \]
得到$t \in [-1,0]\cup[1,+\infty)$，此时
\[ x^2=(t-1)+\frac{2}{t-1}+3 \]
不难求得
\[ x^2\in[0,3-2\sqrt{2}]\cup[3+2\sqrt{2},+\infty) \]
所以没有最小值。

游客

多了左边那区间范围，留下右边的，就对了，题目没问题。

敬畏数学

回复 3# 游客
详细过程?

游客

回复 3# 游客


    晕死，题目里直接就有X-1/X=Y+1/Y≥2。

敬畏数学

回复 5# 游客

其实，变成关于y的一元二次方程有正实根即可，根据维达知道，正根一定大于2,判别式即得。有别的方法吗？

isee

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    2#,5#都是好办法，直接无视？

敬畏数学

回复 2# zhcosin
此解法有点那啥的味道？