函数零点的参数取值范围

敬畏数学

函数$f(x)=(mx)^2-2mx-\sqrt{x}+1-m$在定义域$D=[0,1]$上只有一个零点，则正实数$m$的取值范围______?

zhcosin

你就不能好好的敲出 LaTeX 代码，再不济用 mathtype 编辑好了截图也行啊。

不过对于这种纯应试题目提不起丝毫兴趣，也看不出这种题目对于提升数学素养有什么作用，估计唯一的作用就是嗑趁人。

isee

回复 2# zhcosin


    除了年龄特别大的，这其实反映一种“自主”的态度。当然，这也是一种碰撞。只有有了“自主”的态度，才会真真的有动力去研究一些问题，并感受乐趣。
    比如我与你在此楼“叽歪"，并不解决楼主的问题，楼主也会不"高兴"。

敬畏数学

回复 2# zhcosin
这话就有点过了。不过还是很有兴趣的，不要轻易下结论啊。

isee

估一下，先f(0)f(1)>=0,又f''(x)>0,那么，得到这个m的范围很有可能就是最终的结果。

色k

你就不能好好的敲出 LaTeX 代码，再不济用 mathtype 编辑好了截图也行啊。

不过对于这种纯应试题目提不起 ...
zhcosin 发表于 2017-11-2 10:24

输入方面其实楼主已经有进步了，至少比上次这帖5楼的要好多了

敬畏数学

回复 6# 色k
多谢鼓励。下次争取更大进步！

敬畏数学

????....

走走看看

$多出个\sqrt{x}，应该是超纲了。$
但化成两个函数的相交，又不超了，m∈[0,1]。
据说，“千变万化”这个成语故事，就是从这里来的。

$可设g(x)=\sqrt{x}-1,h(x)=mx^2-2mx-m,分三种情况讨论,其中两种情况下又有两种小情况，不难得到答案。属于存在性问题。$

走走看看

回复 9# 走走看看

\begin{align*}
令&g(x)=\sqrt{x}-1,x∈[0,1]，所以g(x)∈[-1,0]；\\
令&h(x)=m(x^2-2x-1),x∈[0,1]，\\
则&f(x)=h(x)-g(x),x∈[0,1]。\\
对&m进行分类：\\
1）&m=0时，h(x)=0,\\
& g(1)=0,所以，f(x)有一个零点x=1。\\
2）&m≠0时，对称轴为x=1，所以，x∈[0,1]是单调区间。\\
&（1）m＞0时，x∈[0,1]单调递减，-1≤h（0）≤0，或者-1≤h（1）≤0。解得0≤m≤1  或者  0≤m≤\frac{1}{2}。\\
&（2）m＜0时，x∈[0,1]单调递增，-1≤h（0）≤0，或者-1≤h（1）≤0。无解。\\
&综上，0≤m≤1。\\
\end{align*}

走走看看

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    当m≠0时，也可以不分m>0和m<0情况。
    才看清楚，题目中给出的是正实数，因此m∈（0,1]。
    上楼的解答适应全面情况，不改了。

敬畏数学

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好。

isee

回复 10# 走走看看


    数学公式进步是明显的！这是非常值得高兴的。对LaTeX公式的输入已经有了体验。

   不过，一般情况下，公式与汉字是分开排的。比如这个

敬畏数学

？？？？