内心，外心及垂心的位置关系

isee

设在$\triangle ABC$中，$A<B<C$，那么$I$必位于$\triangle OBH$之中，其中$O,I,H$分别为$\triangle ABC$的外心，内心，垂心。

zhcosin

证明 因为内心$I$位于$\triangle{OBH}$所在平面内，所以存在三个不全为零的实数$\alpha,\beta,\gamma$使得下式成立
\[ \alpha \vv{IO} + \beta \vv{IB} + \gamma \vv{IH} = \bm{0} \]
而内心$I$位于$\triangle{OBH}$内部的充分必要条件是这三个系数同号，下面就来证明这一点。

因为
\begin{align*}
\sin{A} \vv{IA} + \sin{B} \vv{IB} + \sin{C} \vv{IC} & = \bm{0} \\
\tan{A} \vv{HA} + \tan{B} \vv{HB} + \tan{C} \vv{HC} & = \bm{0} \\
\sin{2A} \vv{OA} + \sin{2B} \vv{OB} + \sin{2C} \vv{OC} & = \bm{0}
\end{align*}
所以
\begin{align*}
\vv{BI} & = \frac{\sin{A} \vv{BA} +\sin{C} \vv{BC}}{\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}} \\
\vv{BH} & = \frac{\tan{A} \vv{BA} +\tan{C} \vv{BC}}{\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}}  \\
\vv{BO} & = \frac{\sin{2A} \vv{BA} +\sin{2C} \vv{BC}}{\sin{2A}+\sin{2B}+\sin{2C}}
\end{align*}
将$\vv{BI}$的分子部分利用$\vv{BH}$和$\vv{BO}$的分子部分分解出来，可以得到这三个向量的一个线性关系，即
\begin{align*}
& 2(\cos{A}+\cos{C})(\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}) \vv{BI} \\
=& (\sin{2A}+\sin{2B}+\sin{2C}) \vv{BO} + 2\cos{A}\cos{C}(\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}) \vv{BH}
\end{align*}
利用
\[ \vv{BI}=-\vv{IB}, \  \vv{BO}=\vv{IO}-\vv{IB}, \  \vv{BH}=\vv{IH}-\vv{IB} \]
将上式化为关于$\vv{IB},\vv{IO},\vv{IH}$的方程，得
\begin{align*}
& (\sin{2A}+\sin{2B}+\sin{2C}) \vv{IO} \\
+ & 2((\cos{A}+\cos{C})(\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}) + \cos{A}\cos{C}(\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}) ) \vv{IB} \\
+ & 2 \cos{A}\cos{C}(\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}) \vv{IH} \\
= & \bm{0}
\end{align*}
现在只要证明这三个系数都是正的就行了，第一个系数
\[ \sin{2A}+\sin{2B}+\sin{2C} = 2\sin{A}\sin{B}\sin{C} > 0 \]
第二个系数，分别证明它的两个加数都是正的，先看第一个加数，显然$\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}>0$，同时
\[ \cos{A}+\cos{C}=2\cos{\frac{A+C}{2}}\cos{\frac{A-C}{2}}>0 \]
所以第一个加数为正，第二个加数与第三个系数相同，在此一并证明它是正的:
\begin{align*}
& \cos{A}\cos{C}(\tan{A}+\tan{B}+\tan{C})  \\
= & \sin{A}\cos{C}+\cos{A}\sin{C}+\tan{B}\cos{A}\cos{C} \\
= & \sin{B} + \tan{B}\cos{A}\cos{C} \\
= & \frac{\sin{A}\sin{B}\sin{C}}{\cos{B}} \\
> & 0
\end{align*}
其中$\cos{B}>0$是因为角$B$不是最大，因而一定是锐角。由此三个系数都是正的，因此点$I$在$\triangle OBH$内部.

从证明过程中可以看出，只要$B$是锐角，这个结论就是成立的，无论角$A$与角$C$是什么情况。

isee

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    厉害厉害！没细看，三角，向量，肯定是对的。

乌贼

回复 2# zhcosin
只有$B$是锐角，结论还不能成立。

乌贼

这是什么鸟题，不知如何表达。
引理：$ \triangle ABC $，若$ \angle PBC<\angle ABC,\angle PCB<\angle ACB $，则点$ P $在$ \triangle ABC $内。（不知如何证明）

如图：延长$ BO $交园于$ P $，连接$ CP $，有$ AH\px CP $，得\[ \angle ABP=\angle ACP=\angle CAH=\angle HBC(\angle CAH+\angle ACB=\angle HBC+\angle ACB=90\du ) \]同理\[ \angle ACO=\angle BCH \]
\[ \angle ABC>\angle CAB\riff \angle ACH>\angle BCH\riff \\\angle OCB>\angle HCB \]
同理\[ \angle OBC>\angle HCB \]由引理知点$ H $在$ \triangle OBC $内。
易证\[ BH>CH\]作$ \angle OBH $ 的角平分线交$ OH $于$ M $，$ \angle OCH $的角平分线交$ OH $于$ N $，$ I $即为$ BM $与$ CN $的交点。由角平分线定理有\[ \dfrac{BH}{BO}=\dfrac{HM}{MO}>\dfrac{CH}{OC}=\dfrac{HN}{NO}\\\riff HM>HN \]到这不知如何表述，总之：
    1：\[ HM=HN \]则$ I、M、N $三点重合且位于$ OH $上。
2\[ HM>HN \]则点$ I $在$ \triangle OBH $内。
3\[ HM<HN \]则点$ I $在$ \triangle OCH $内。
楼主上标答

乌贼

把这贴串一串
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zhcosin

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    恩，光有锐角是不行的，我找空看看是哪儿计算有错。