请教各路大神一题.

_xiao

请教各路大神一题.

乌贼

_xiao

回复 2# 乌贼


    懂了，谢谢!非常感谢

走走看看

回复 2# 乌贼


    这题好难，没有看懂，可以解释一下吗？

乌贼

回复 4# 走走看看
令\[ \angle ABA_1=\angle AA'A_1=\angle ACA_1=\angle \theta \]\[ \angle A_1BC =\angle A_1CB=\beta \]有\[ \begin{align*}
\dfrac{\sin B+\sin C}{AA'\cos\dfrac{\angle BAC}{2}}&=\dfrac{\sin (\beta +\theta )+\sin (\beta -\theta )}{AA'\dfrac{A_1B}{A'A_1}}\\&=\dfrac{2\sin\beta \cos\theta }{A_1B\cos\theta }\\&=\dfrac{2\dfrac{A_1B}{A'A_1}}{A_1B}=\dfrac{2}{A'A_1}\\&=2
\end{align*} \]

乌贼

这题明明告诉你非等腰，就是叫你用等腰吗

_xiao

回复 5# 乌贼


    sin B + sin C 那一步化简后问题吧，应该化简为sin（β+θ）+cos （β-θ）.

乌贼

回复 7# _xiao
\[ \angle B=\angle \beta +\angle \theta \]\[ \angle C=\angle \beta -\angle \theta  \]都没有$\cos$，怎么出现$\cos$？
完整写出\[ \sin B+\sin C=\sin(\beta +\theta ) +\sin(\beta -\theta )=\sin \beta \cos \theta +\cos\beta \sin\theta +\sin\beta \cos\theta -\cos\beta \sin\theta =2\sin\beta \cos\theta \]

_xiao

请问∠B=∠β+∠θ怎么得到的，如何按照您的说法，得不到∠B=∠β+∠θ呀，还请大神指点一二

走走看看

回复 6# 乌贼


    大师精明！太牛了！谢谢指教！

走走看看

回复 8# 乌贼


    $大师笔误了，β=∠A1BC=∠A1CB=∠A1A'B。$
    这样的话，式子的倒数第二行也应相应修改:
    $\frac{2\frac{A1C}{A'A1}}{A1B}=\frac{2A1C}{A1B}=2。$
   
    估计_xiao发生疑问就是源于这个。

isee

回复 2# 乌贼


没有直接用下托勒密(Ptolemy)定理来得爽。

记$AB=c,AC=b,BC=a,A_1B=A_1C=m$，则$$mb+mc=AA_1a.$$

在$\triangle ABC$中，由正弦定理，上式即$$m(\sin B+\sin C)=AA_1\sin A \Rightarrow \frac{\sin B+\sin C}{AA_1\sin A }=\frac 1m.$$

由倍角公式即得目标式$$\frac{\sin B+\sin C}{AA_1\cos(A/2)}=\frac {\sin(A/2)}{m/2}=1.$$

注1：在圆$O$中，连接$OB$，在$\triangle OBA_1$中容易得到$$OA_1\cdot\sin(A/2)=m/2.$$

注2：当$b\rightarrow c$时，亦能得到选择题的答案.

乌贼

回复 12# isee
不懂这个道理

isee

回复 13# 乌贼


   

isee

回复  isee
不懂这个道理
乌贼 发表于 2017-11-7 19:07

    结果不一样，到底是谁算错了？2楼的图的字母与题中字母不符，不想看。。。。。。

走走看看

回复 15# isee


    乌贼做得没有问题，我验证过。虽然A1、A'标记的和题目的不同，但不影响实质。只要把题目中的A1换成A'就可以了。

    $您的是否有问题，我不知道。也许您的哪一步笔误，导致结果错误。可能是OA1⋅sin(\frac{A}{2})=\frac{m}{2}。$

乌贼

回复 16# 走走看看
回复 15# isee
我的错了，把半径当直径

kuing

突然发现，我在《撸题集》第 580 页题目 4.10.1 证法一的前几行其实就是在解决楼主这个问题……

isee

回复 18# kuing

0.1也是变态，粗一看，以为O是外心。

PS:这个突然真是突然。。。。。。。

kuing

回复 19# isee

可惜人教论坛还是打不开，真是的，会都开完这么久了还不开，还要等啥呢？……