双变量函数范围问题(浙江学考压轴)

力工

此题： 大家支支招！

名落孙山

记\[f_1\left(x\right)=-t\cdot2^{x+1}-3^{x+1},f_2\left(x\right)=t\cdot2^x-3^x,\]由于\(\,f\left(x\right)\,\)在\(\,\left[1,m\right)\,\)上递减，于是一定有\(\,f_1\left(x\right)\,\)在\(\,\left[1,2\right)\,\)上递减．从而\[\forall x\geq1,f_1'\left(x\right)=-t\cdot2^{x+1}\ln2-3^{x+1}\ln3\leq0,\]进而容易得到\[t\geq-\dfrac94\cdot\dfrac{\ln3}{\ln2}.\]为了让\(\,m\,\)更大，我们希望\[f_1\left(2\right)\geq f_2\left(2\right),\]因此\(\,t\leq-\dfrac32\,\)．当\(\,t\leq0\,\)时\(\,f_2\left(x\right)\,\)显然递减．我们还希望\[f_2\left(3\right)\geq f_1\left(3\right),\]得到\(\,t\geq-\dfrac94\,\)．而\[f_1\left(4\right)\geq f_2\left(4\right)\Rightarrow t\leq-\dfrac{27}{8}<-\dfrac94,\]这说明当\(\,x>4\,\)时\(\,f\left(x\right)\,\)不可能再递减．所以\(\,t\,\)的取值范围是\(\,\left[-\dfrac94,-\dfrac32\right]\,\)．
大半夜做的，不知道有没有出错．
此外，学考应该是不考导数的，我还没有思考好\(\,t\geq-\dfrac94\cdot\dfrac{\ln3}{\ln2}\,\)这个范围是不是必须要求的．
最后，希望楼主能把第(1)问也发出来．

走走看看

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很棒！
我看到这道题一下子就晕倒了，没想到你轻易地把它做出来了。

走走看看

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    刚才在画板中，第一次验证有疑问：
    $令t取-3到-3.74，显示在[1,3]依然是递减的，但不在[-\frac{9}{4},-\frac{3}{2}]内。$
    第二次验证解决了第一问的疑问，因为当t=-3时，在[1,3]范围内没问题，但在[3,4]有问题，从而证明楼上的解答是正确的。