轮换不等式

yao4015

$x,y,z$是非负实数, 证明
$x^4y^2+y^4z^2+z^4x^2-x^3y^2z-y^3z^2x-z^3x^2y\geq 0.$

zhcosin

这个一看就是排序不等式，设$x \geqslant y \geqslant z$，则还有另一组不等式
\[ x^3y^2 \geqslant y^3z^2 \geqslant z^3x^2 \]
于是由排序不等式就立得
\[ x^4y^2+y^4z^2+z^4x^2 \geqslant x^3y^2z+y^3z^2x+z^3x^2y \]

realnumber

回复 2# zhcosin


    还得讨论$x\ge z\ge y$

zhcosin

回复 3# realnumber
哦，对，想当然了。

yao4015

回复 2# zhcosin

这个一看就是排序不等式，设$x \geqslant y \geqslant z$，则还有另一组不等式
\[ x^3y^2 \geqslant y^3z^2 ...
zhcosin 发表于 2017-11-7 12:24

你这个 $y^3 z^2\geq z^3 x^2$ 是不是也有问题呀,  $y^3\geq zx^2$ ?

色k

很简单啊，两边除以 $x^2y^2z^2$ 即证
\[\sum\frac{x^2}{z^2}\geqslant\sum\frac xz,\]
所以问题等价于：$a$, $b$, $c>0$, $abc=1$，求证
\[a^2+b^2+c^2\geqslant a+b+c,\]
上式非常容易证明，而且还有更一般的结果，见《撸题集》第 821 页题目 6.2.9。

isee

回复 6# 色k

被你这么一搞，好像是去分母的得到的式子似的，这洞察力。。。。。。

走走看看

这个一看就是排序不等式，设$x \geqslant y \geqslant z$，则还有另一组不等式
\[ x^3y^2 \geqslant y^3z^2 ...
zhcosin 发表于 2017-11-7 12:24

第一个式子有问题，如x=3，y=2，z=1，
$y^3z^2≥z^3x^2$
不成立。
请检查一下是什么原因。

敬畏数学

此题原题是轮换不等式，原题非对称不等式，不可以任意假设大小关系吧。

yao4015

回复 1# yao4015

我自己的证法. 使用 A-G 不等式, 有
$$x^4y^2+x^4y^2+x^4y^2+x^4y^2+y^4z^2+z^4x^2\geq 6x^3y^2z.$$
上式轮换后获得另外两个完全类似的不等式, 三式相加两边除以6, 得证.

另一个完全类似的不等式是,
$$x^2y^4+y^2z^4+z^2x^4-x^3y^2z-y^3z^2x-z^3x^2y\geq 0.$$
证法更简单些. 只需注意到
$$x^2y^4+z^2x^4\geq 2x^3y^2z.$$

敬畏数学

回复 10# yao4015
妙！除了妙没有别的。。。。。轮换。。。。

敬畏数学

回复 10# yao4015
后面这个不等式我会玩。但开始的原题不等式，我玩了很久就是想不出啊！看到你给出的方法，差不多想起了你后面想出的不等式。哈哈！大神！

敬畏数学

回复 10# yao4015
用这种方法，同理可以解决6#（同除以一个式子后得到的那个对称不等式）。本质一样。

yao4015

回复 6# 色k

$$abc=1,  a^2+b^2+c^2\geq a+b+c$$
   等价于
$$a^2+b^2+c^2\geq (abc)^{1/3}(a+b+c).$$
这是一个实数的 Muirhead. $(2,0,0)\succeq(4/3,1/3,1/3)$.