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kuing
posted 2017-11-8 12:06
Last edited by hbghlyj 2025-5-4 09:05显然伸缩变换不改变结论,于是我们可以把椭圆变成圆,并不妨设其半径为 $1$,如下图。
四边形 $ABNM$ 的面积为定值等价于 $AN\cdot BM$ 为定值,令 $\angle PON=\alpha$, $\angle POM=\beta$,则
\begin{align*}
OM&=\tan\angle OAM=\tan\frac\alpha2,\\
ON&=\tan\angle OBN=\tan\frac\beta2,
\end{align*}
于是
\[AN\cdot BM=(1+OM)(1+ON)=1+\tan\frac\alpha2+\tan\frac\beta2+\tan\frac\alpha2\tan\frac\beta2,\]
由 $\alpha+\beta=90\du$ 得
\[\tan\frac{\alpha+\beta}2=1 \iff \tan\frac\alpha2+\tan\frac\beta2=1-\tan\frac\alpha2\tan\frac\beta2,\]
所以 $AN\cdot BM=2$,即得证。 |
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