求证一系列不等式

lemondian

下列不等式：
（1）已知 $a, b \inR^{+}$，求证：$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a} \geq \sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}$ ．
（2）已知 $a, b, c \inR^{+}$，求证：$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \geq \sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}$ ．
（3）已知 $a, b, c, d \inR^{+}$，求证：$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{d}+\frac{d^2}{a} \geq \sqrt{4\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)}$
（4）$\cdots$
能推广吗？

kuing

见《撸题集》第 667 页题目 5.1.69

lemondian

回复 2# kuing


    谢谢！
那位能证明一下：5,6，7,8元的情况？

wanhuihua

4．设 $x_i \in R^{+}, i=1,2, \cdots, n$ ，则
\[\tag9
\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_3}+\cdots+\frac{x_n^2}{x_1} \geq \sqrt{n \sum x_1^2}
\]
当且仅当 $x_1=x_2=\cdots=x_n$ 时，（9）式取等号．
见《数学奥林匹克不等式研究》第三章＂放缩法证明不等式＂例7．
当 $n=3$ 时是一道陈题，笔者证明了 $n=3,4,5$ 时，（9）式成立，于是提出了猜想 4．
当 $n=4$ 时的证明，见《数学奥林匹克不等式研究》第三章＂放缩法证明不等式＂例 7；当 $n=5$ 时的证明，见《数学奥林匹克不等式研究》第七章＂其他法证明不等式例子＂例 28．

是杨学枝老师的一个猜想
n=5 见上面有证明 n=6 我改了一个相对简单的题目，还是不太容易
forum.php?mod=viewthread&tid=4808&ext … er=type&typeid=1

走走看看

回复 4# wanhuihua

看到了这本书的PDF版，2007年完成编辑，2008年出版，蔡玉书主编。
书名《数学奥林匹克中的不等式研究》。
遗憾的是，PDF版没有目录，也看不出章节，455页看起来就是一章。

2009年出版的还有《数学奥林匹克不等式研究》，杨学枝主编。
PDF版，左边没有配备目录。

它们都可以从网上下载。
相比较而言，《Kuing网络撸题集》要好看得多。

wanhuihua

电子书是扫描版，比较简单，适合买纸质书，呵呵

wanhuihua

blog.sina.com.cn/s/blog_a329360c01017453.html，看看这个n=8的证明 有人能整理的简单点吗？