关于复数模的不等式

isee

给定实数$r\in (0,1)$.证明：若$n$个复数$z_1,z_2,\cdots,z_n$满足$\abs{z_k-1}\leqslant r(k=1,2,\cdots,n)$,则$$\abs{z_1+z_2+\cdots+z_n}\cdot \abs{\frac 1{z_1}+\frac 1{z_2}+\cdots+\frac 1{z_n}}\geqslant n^2(1-r^2).$$

Infinity

上述结论可以推广：
设$\lambda_k>0$，$\sum_{k=1}^n\lambda_k=1$，记$A=\sum_{k=1}^n\lambda_kz_k$，$G=\Pi_{k=1}^n z_k^{\lambda_k}$，$H=\frac{1}{\sum_{k=1}^n\frac{\lambda_k}{z_k}}$，则有\[(1-r^2)|A|\leqslant |H|\leqslant \frac{|A|}{(1-r^2)}\tag{1}\]以及\[\frac{(1-r^2)|G|}{1-|G-1|^2}\leqslant|H|\leqslant\frac{|G|^2}{1-r^2}\tag{2}\]$(1)$式右端便是1楼的不等式。

kuing

回复 2# Infinity

我在《常用不等式(第4版)》里查到了这结论(P496)，可惜没提供证明，只提供了一个参考文献：

跳到参考文献[301]是这个：

不知从哪里找才能看到这篇文章了……

Infinity

sciencedirect.com/science/article/pii/S0022247X99966726

kuing

回复 4# Infinity

多谢！

Infinity

回复 5# kuing


    你那里能下载吗？若不能，我可以上传文件。不过里面的证明似乎并不初等，并且还比较复杂。

kuing

回复 6# Infinity

能下啊，嗯，很复杂的样子，一时间还看不来，对复数不太熟