关于复数模的不等式

isee · 2017-11-15 20:50

给定实数$r\in (0,1)$.证明：若$n$个复数$z_1,z_2,\cdots,z_n$满足$\abs{z_k-1}\leqslant r(k=1,2,\cdots,n)$,则$$\abs{z_1+z_2+\cdots+z_n}\cdot \abs{\frac 1{z_1}+\frac 1{z_2}+\cdots+\frac 1{z_n}}\geqslant n^2(1-r^2).$$

Infinity · 2017-11-16 17:58

上述结论可以推广：
设$\lambda_k>0$，$\sum_{k=1}^n\lambda_k=1$，记$A=\sum_{k=1}^n\lambda_kz_k$，$G=\Pi_{k=1}^n z_k^{\lambda_k}$，$H=\frac{1}{\sum_{k=1}^n\frac{\lambda_k}{z_k}}$，则有\[(1-r^2)|A|\leqslant |H|\leqslant \frac{|A|}{(1-r^2)}\tag{1}\]以及\[\frac{(1-r^2)|G|}{1-|G-1|^2}\leqslant|H|\leqslant\frac{|G|^2}{1-r^2}\tag{2}\]$(1)$式右端便是1楼的不等式。